dist 的性质

对于一棵二叉树，我们定义左孩子或右孩子为空的节点为外节点，定义外节点的 distdist 为 11，空节点的 distdist 为 00，不是外节点也不是空节点的 distdist 为其到子树中最近的外节点的距离加一。
一棵根的 distdist 为 xx 的二叉树至少有 2x−12x−1 个节点。此性质所有二叉树都有，并非左偏树特有。
distdist 不是深度，左偏树的深度没有保证，一条向左的链也是左偏树。

左偏树的性质

左偏树是一棵二叉树，并且是“左偏”的，即每个节点左儿子的 distdist 都大于等于右儿子的 distdist。
因此，左偏树中每个节点的 distdist 是它右儿子的 distdist 加一。

变量

int lson[N], rson[N], fa[N], fat[N];
ll val[N], dist[N];

lson: 左孩子（左偏）；
rson: 右孩子；
fa: 父节点；
fat: 祖先（并查集）；
val: 权值；
dist: 就是 distdist。

操作

• 合并

int merge(int x, int y) { // 合并if (!x || !y) {return x | y;}if (val[x] > val[y] || (val[x] == val[y] && x > y))swap(x, y);rson[x] = merge(rson[x], y);fat[rson[x]] = fa[rson[x]] = x;if (dist[lson[x]] < dist[rson[x]])swap(lson[x], rson[x]);dist[x] = dist[rson[x]] + 1;return x;
}

if (!x || !y) { return x | y; }
如果与空节点合并，则直接合并即可
if (val[x] > val[y] || (val[x] == val[y] && x > y))
说明这是个小根堆，小元素在上面。
if (dist[lson[x]] < dist[rson[x]]) swap(lson[x], rson[x]);
维护左偏的性质。

• 删除任意一个节点

左偏树是不支持删除给定权值的点的，只能删除知道点的标号的点。

void earse(int u) { // 删除任意一点int tmp = merge(lson[u], rson[u]), fu = fa[u];fat[tmp] = fa[tmp] = fu;fat[u] = fa[u] = tmp;lson[fu] == u ? lson[fu] = tmp : rson[fu] = tmp;while (fu) {if (dist[lson[fu]] < dist[rson[fu]])swap(lson[fu], rson[fu]);if (dist[fu] == dist[rson[fu]] + 1)return ;dist[fu] = dist[rson[fu]] + 1;fu = fa[fu];}
}

int tmp = merge(lson[u], rson[u]), fu = fa[u]; 先将被删节点的左右孩子合并。
fat[tmp] = fa[tmp] = fu; 处理好父亲和孩子的关系。

while (fu) {if (dist[lson[fu]] < dist[rson[fu]])swap(lson[fu], rson[fu]);if (dist[fu] == dist[rson[fu]] + 1)return ;dist[fu] = dist[rson[fu]] + 1;fu = fa[fu];
}

删除点之后可能不符合左偏性质，需要我们向上修改，直到到根节点或符合左偏性质为止。

• 查询 uu 点所在堆的堆顶元素的标号

这个操作类似于并查集操作。

int find(int u) { // 查询堆顶的元素的标号return (fat[u] == u || fat[u] == 0) ? u : fat[u] = find(fat[u]);
}

• 删除 uu 点所在堆的堆顶元素

void pop(int u) { // 弹出 u 点所在对的堆顶元素int g = find(u);earse(g);
}

• 查询 uu 点所在堆的堆顶元素

ll top(int u) { // 查询 u 点所在堆的堆顶元素int g = find(u);return val[g];
}

• 建树操作

int build(int n) { // 建树queue<int> q;for (int i = 1; i <= n; ++ i) {q.push(i);}int x, y, z;while (q.size() > 1) {x = q.front(), q.pop();y = q.front(), q.pop();z = merge(x, y), q.push(z);}return q.front();
}

模板

// 左偏树（小根堆）
struct leftist_tree {int lson[N], rson[N], fa[N], fat[N];ll val[N], dist[N];int merge(int x, int y) { // 合并if (!x || !y) {return x | y;}if (val[x] > val[y] || (val[x] == val[y] && x > y))swap(x, y);rson[x] = merge(rson[x], y);fat[rson[x]] = fa[rson[x]] = x;if (dist[lson[x]] < dist[rson[x]])swap(lson[x], rson[x]);dist[x] = dist[rson[x]] + 1;return x;}int find(int u) { // 查询堆顶的元素的标号return (fat[u] == u || fat[u] == 0) ? u : fat[u] = find(fat[u]);}void earse(int u) { // 删除任意一点int tmp = merge(lson[u], rson[u]), fu = fa[u];fat[tmp] = fa[tmp] = fu;fat[u] = fa[u] = tmp;lson[fu] == u ? lson[fu] = tmp : rson[fu] = tmp;while (fu) {if (dist[lson[fu]] < dist[rson[fu]])swap(lson[fu], rson[fu]);if (dist[fu] == dist[rson[fu]] + 1)return ;dist[fu] = dist[rson[fu]] + 1;fu = fa[fu];}}ll top(int u) { // 查询 u 点所在堆的堆顶元素int g = find(u);return val[g];}void pop(int u) { // 弹出 u 点所在对的堆顶元素int g = find(u);earse(g);}int build(int n) { // 建树queue<int> q;for (int i = 1; i <= n; ++ i) {q.push(i);}int x, y, z;while (q.size() > 1) {x = q.front(), q.pop();y = q.front(), q.pop();z = merge(x, y), q.push(z);}return q.front();}
};

pb_ds 中的堆

__gnu_pbds :: priority_queue 

成员函数

 

push(): 向堆中压入一个元素，返回该元素位置的迭代器。
pop(): 将堆顶元素弹出。
top(): 返回堆顶元素。
size(): 返回元素个数。
empty(): 返回是否非空。
modify(point_iterator, const key): 把迭代器位置的 key 修改为传入的 key，并对底层储存结构进行排序。 
erase(point_iterator): 把迭代器位置的键值从堆中擦除。
join(__gnu_pbds :: priority_queue &other): 把 other 合并到 *this 并把 other 清空。