算法随笔一（背包问题）

今天逛园子，偶然看到了“背包问题”，于是上网找了下相关资料，并写了个简单的实现方案。

何为背包问题？

简单理解，就是给了一堆物品跟一个包，每个物品都有相应的重量和价值，包有自己的承重。我们要做的就是在包的承重范围内，往包里装下价值总量最高的物品。

如何解决背包问题？

一般采用递归的方法，对每次放入物品进行数学建模。每次放入物品都会有两种选择（前提是该物品能放入）：

1. 放入该物品，那么问题转换成，减去该物品的重量，包剩余的容量最多能装下多少价值的物品。

2. 不放入该物品，那么问题转换成，算上该物品的重量，包的容量最多能装下多少价值的物品

为了方便理解，可以参考以下表格（首行为包的容量）：

重量	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	价值
2	0	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5
5	0	5	5	5	6	6	11	11	11	11	6
3	0	5	5	6	6	6	11	11	11	12	1
7	0	5	5	6	6	6	16	16	21	21	16
8	0	5	5	6	6	6	16	16	21	21	10

拿数据部分，第四行第八列的数据来说

如果放入物品三，则最高价值为1(物品三价值)+5（承重为4时的最高价值）=6。

如果不放入物品三，则最高价值为11（承重为7时放入前面物品的最高价值）

代码如下：

物品类

public class BagItem
{public int Weight { get; set; }public int Value { get; set; }
}

背包类

public class Bag
{private List<BagItem> _items;private int _capacity;public Bag(List<BagItem> items,int capacity){this._items = items;this._capacity = capacity;}public int CalculateMaxValue(){int n = _items.Count;int[,] array = new int[n + 1, _capacity + 1];for (int i = 0; i < n + 1; i++){array[i, 0] = 0;}for (int i = 0; i < _capacity + 1; i++){array[0, i] = 0;}for (int i = 1; i < n + 1; i++){for (int j = 1; j < _capacity + 1; j++){if (_items[i-1].Weight > j){array[i, j] = array[i - 1, j];}else{array[i, j] = Math.Max((_items[i-1].Value + array[i - 1, j-_items[i-1].Weight]), array[i - 1, j]);}}}return array[n, _capacity];}
}