P3389 【模板】高斯消元法

举个栗子：

2x + y - z = 8

-3x - y + 2z = -11

-2x + y + 2z = -3

先将它存到矩阵中：

②+①* (2/3)

③+①

接着对①变换

得到x，y，z；

但是我们想到，如果它有在原方程中就有两个或多个方程本质上是一样的，那么这就是无解

比如：

最后得出：

0=9，矛盾这就是无解

又比如：

元的数量 > 方程式的数量这就是无解

这里我们引入一个定理：

一个矩阵的行列式如果不为0，方程组有唯一解，否则无解或者无穷多解

貌似就可以用行列式求解了

行列式：

上代码（from lh）（注释from lz）：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pr;
const double pi=acos(-1);
#define rep(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i=n;i>=a;i--)
#define Rep(i,u) for(int i=head[u];i;i=Next[i])
#define clr(a) memset(a,0,sizeof a)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define sc second
ld eps=1e-9;
ll pp=1000000007;
ll mo(ll a,ll pp){if(a>=0 && a<pp)return a;a%=pp;if(a<0)a+=pp;return a;}
ll powmod(ll a,ll b,ll pp){ll ans=1;for(;b;b>>=1,a=mo(a*a,pp))if(b&1)ans=mo(ans*a,pp);return ans;}
ll read(){ll ans=0;char last=' ',ch=getchar();while(ch<'0' || ch>'9')last=ch,ch=getchar();while(ch>='0' && ch<='9')ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();if(last=='-')ans=-ans;return ans;
}
//head（lh的代码头）
int n,m;
double a[100][100];bool check(int k){if(fabs(a[k][n+1])<eps)return 1;// 如果小于0，返回1 for(int i=1;i<=n;i++) if(fabs(a[k][i])>eps)return 1;//第k行的每个数都大于0 return 0;
}
int main(){n=read();m=read();//m*n的矩阵，// a_i,1 a_i,2 ... a_i,n a_i,n+1for(int i=1;i<=m;i++)for(int j=1;j<=n+1;j++)a[i][j]=read();//输入矩阵元素(因为除了这个m*n的矩阵，还要有一行答案qwq） （看洛谷题吧qwq） for(int j=1;j<=m;j++){for(int k=1;k<=n+1;k++)cout<<a[j][k]<<" ";puts("");}//先把矩阵输出辽一遍 int flag=0;for(int i=1;i<=n;i++){int t=i;while(a[t][i]==0 && t<=n)t+=1;if(t==n+1){flag=1;continue;}//if判断是否有一行全为0，如果全为0 那么我们就少了至少1个方程，那么这个方程显然无唯一解 for(int j=1;j<=n+1;j++)swap(a[i][j],a[t][j]);//交换第i行和第t行的值，目的在于交换第i行和第t行后可以使a[1][1]！=0 double kk=a[i][i];//找到对角线qwq for(int j=1;j<=n+1;j++)a[i][j]/=kk;//把这一行的每一项都除以对角线，使得对角线为1 for(int j=1;j<=m;j++) //这里真的要详细地讲一讲咯 if(i!=j){//首先i！=j这样就不再消对角线上的数了 double kk=a[j][i];//定义kk为第j行第i列的数 for(int k=1;k<=n+1;k++)//把每一项消成0qwq（先把第一列除了对角线全消为0然后第二第三……） // 关于处理对角线这里以i=1，j=3做例子：当k=3时，a[3][3]-=a[3][1]*a[1][3]而这个时候a[3][1]已经为0，故对对角线无影响 a[j][k]-=kk*a[i][k];}puts("------------");//画一个杠杠来分割每一次消元结果 for(int j=1;j<=m;j++){for(int k=1;k<=n+1;k++)cout<<a[j][k]<<" ";//输出每次消元结果 puts("");//输出空格 
        }}if(flag){//判断无解和多解的情况（上面已经提到了） 已经懵bi求救qwq for(int i=1;i<=m;i++) if(!check(i)){//利用check判断是无解还是多解  printf("No solution\n");return 0;}//每个答案行如果有一个等于0的数就多解？？printf("So many solutions\n");}
}

修改后（from rainbow）：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pr;
const double pi=acos(-1);
#define rep(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i=n;i>=a;i--)
#define Rep(i,u) for(int i=head[u];i;i=Next[i])
#define clr(a) memset(a,0,sizeof a)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define sc second
ld eps=1e-9;
ll pp=1000000007;
ll mo(ll a,ll pp){if(a>=0 && a<pp)return a;a%=pp;if(a<0)a+=pp;return a;}
ll powmod(ll a,ll b,ll pp){ll ans=1;for(;b;b>>=1,a=mo(a*a,pp))if(b&1)ans=mo(ans*a,pp);return ans;}
ll read(){ll ans=0;char last=' ',ch=getchar();while(ch<'0' || ch>'9')last=ch,ch=getchar();while(ch>='0' && ch<='9')ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();if(last=='-')ans=-ans;return ans;
}
//head
int n,m;
double a[100][100];bool check(int k){if(fabs(a[k][n+1])<eps)return 1;rep(i,1,n)if(fabs(a[k][i])>eps)return 1;return 0;
}
int main(){n=read();m=n;// a_i,1 a_i,2 ... a_i,n a_i,n+1rep(i,1,m)rep(j,1,n+1)a[i][j]=read();int flag=0;rep(i,1,n){int t=i;while(a[t][i]==0 && t<=n)t+=1;if(t==n+1){flag=1;continue;}rep(j,1,n+1)swap(a[i][j],a[t][j]);//交换两行 double kk=a[i][i];//每一行对角线上的值 rep(j,1,n+1)a[i][j]/=kk;rep(j,1,m)//循环m个式子 开始消元 if(i!=j){double kk=a[j][i];rep(k,1,n+1)a[j][k]-=kk*a[i][k];//这样就能保证正好把第i列的数除了a[i][i] 都消成0 
            }}if(flag){return printf("No Solution\n"),0;}rep(j,1,m){printf("%.2lf",a[j][n+1]/a[j][j]);puts("");}}