CF1142C U2（计算几何，凸包）

题目大意：平面上有 $n$ 个点，第 $i$ 个点是 $(x_i,y_i)$。问有多少条抛物线（二次项系数为 $1$），经过这些点中不同的两个点，并且内部（不含边界）没有任何这些点。重合的抛物线只算一次。

$1\le n\le 10^5,|x_i|,|y_i|\le 10^6$。

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这题特别有趣。

考虑把抛物线方程重写：$y-x^2=bx+c$。

那么如果把每个点变成 $(x_i,y_i-x_i^2)$，那么原来 $i,j$ 两点的抛物线就变成了现在 $i,j$ 两点的直线。

那么答案就是上凸包的边数。

时间复杂度 $O(n\log n)$。

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100010;
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
inline int read(){char ch=getchar();int x=0,f=0;while(ch<'0' || ch>'9') f|=ch=='-',ch=getchar();while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();return f?-x:x;
}
struct point{ll x,y;bool operator<(const point &p)const{if(x!=p.x) return x>p.x;return y>p.y;}point operator-(const point &p)const{return (point){x-p.x,y-p.y};}
}p[maxn],pp[maxn],stk[maxn];
int n,m,tp;
ll cross(point p1,point p2){return p1.x*p2.y-p2.x*p1.y;
}
int main(){n=read();FOR(i,1,n) p[i].x=read(),p[i].y=read()-p[i].x*p[i].x;sort(p+1,p+n+1);pp[m=1]=p[1];FOR(i,2,n) if(p[i].x!=p[i-1].x) pp[++m]=p[i];FOR(i,1,m){while(tp>1 && cross(stk[tp]-stk[tp-1],pp[i]-stk[tp-1])<=0) tp--;stk[++tp]=pp[i];}printf("%d\n",tp-1);
}