三次样条插值 cubic spline interpolation

 

什么是三次样条插值

　　插值（interpolation）是在已知部分数据节点（knots）的情况下，求解经过这些已知点的曲线，

然后根据得到的曲线进行未知位置点函数值预测的方法（未知点在上述已知点自变量范围内）。

　　样条(spline)是软尺(elastic ruler)的术语说法，在技术制图中，使用软尺连接两个相邻数据点，

以达到连接曲线光滑的效果。

　　样条插值是一种分段多项式(piecewise polynomial)插值法。数学上，曲线光滑需要在曲线上处处一阶导连续，

因此，在节点处需要满足一阶导数相等。另外，为了使得曲线的曲率最小，要求曲线二阶导连续^【1】，

在节点处需要二阶导相等。

　　三次及以上多项式可以满足节点处光滑和曲率最小要求，但是次数高的曲线容易震荡，因此，就选用三次多项式即可。

 

数学表述

　　假设有n个已知节点：

　　　　　　

　　函数关系记为： 。

　　在区间  中插值多项式曲线： 

　　　　　  　

注意，这里头曲线为，尾曲线为。

　　插值在节点处满足条件：

　　（1）曲线经过节点：

　　　　

　　（2）曲线一阶导连续（光滑）：

　　　　

　　（3）曲线二阶导连续（曲率最小）：

　　　　

　　边界条件：对两端节点的约束。

　　（B1）自然(natural (or free))边界条件

　　　　

　　（B2）固定(clamped)边界条件

　　　　固定一阶导数：

　　　　 ,

　　　　固定二阶导数：

　　　　, 

　　（B3）非节点边界(not-a-knot )

　　　　要求在第二个节点  和倒数第二个节点 ，曲线的三阶导也连续：

　　　　

　　　　

 

三次多样式函数的计算

　　样条函数采用n-1个三次多项式，每个三次多项式有4个参数，一共是4n-4个参数，

因此需要4n-4个方程。

　　　　条件（1）n-1个曲线每个两端经过节点，提供2（n-1）=2n-2个方程；

　　　　条件（2）n-1个曲线相邻一阶导连续，提供n-2个方程；

　　　　条件（3）n-1个曲线相邻二阶导连续，提供n-2个方程；

　　以上一共是4n-6个方程，还需要2个方程，这两个方程由边界条件提供，条件（B1）, （B2）, （B3）

每个均提供2个方程，这样就凑够了4n-4个方程。

　　

计算的例子

　　n个节点，n-1条曲线。在区间  内，令第i条曲线为：

　　　　

　　一二三阶导分别为：

　　　　一阶：  

　　　　二阶：  

　　　　三阶：  

　　接下来，套用节点条件和边界条件：

　　先假设相邻节点横纵坐标的差值分别为: ，。

　　　　条件（1）：曲线  已经满足第一个式子：；

　　　　第二式 ： 

　　　　　　(I)　　　　

　　　　条件（2）：

　　　　　　(II)　　　　　　

　　　　条件（3）：

　　　　　　(III)　　　　　　　　   

　　　　边界条件以非节点（Not-A_Knot）条件为例， 得：

　　　　　　(IV)　　, 

　　联立方程(I)和(II)， 分别消去  和  得：

　　　　, 　　　　

　　带入方程(III)得：

　　　　(V)　　　　

　　这里i的最大值应该取不到n-3，当i=n-3时，上式左边将出现 ，而参数a的范围是从0到n-2，

所以不存在这项，此式一共是n-2个方程。

　　　　另外，方程(II)和(III)都不支持 ，需要单独计算 ：

　　　　由方程(I)，(III)分别有：

　　　　　　

　　　　　　

　　　　=>

　　　　　　

　　　　　　

　　由边界条件方程(IV)中的  得：

　　　　

　　方程（V）取i=0有：

　　　　

　　与上式联立消去，得：

　　　　(VI)　　

　　另由  得：

　　　　(VII)　　 

 　　方程(V), (VI), (VII)联立，n-1个方程，n-1个未知数（），参数a得解，然后在算出参数b和c即可。

  

References:

[1] Wikipedia: spline interpolation