贝叶斯定理

贝叶斯定理是通过对观测值概率分布的主观判断(即先验概率)进行修正的定理，在概率论中具有重要地位。

先验概率分布(边缘概率)是指基于主观判断而非样本分布的概率分布，后验概率(条件概率)是根据样本分布和未知参数的先验概率分布求得的条件概率分布。

贝叶斯公式：

P(A∩B) = P(A)*P(B|A) = P(B)*P(A|B)

变形得：

P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)

其中

P(A)是A的先验概率或边缘概率，称作"先验"是因为它不考虑B因素。

P(A|B)是已知B发生后A的条件概率，也称作A的后验概率。

P(B|A)是已知A发生后B的条件概率，也称作B的后验概率，这里称作似然度。

P(B)是B的先验概率或边缘概率，这里称作标准化常量。

P(B|A)/P(B)称作标准似然度。

朴素贝叶斯分类(Naive Bayes)

朴素贝叶斯分类器在估计类条件概率时假设属性之间条件独立。

首先定义

x = {a1,a2,...}为一个样本向量，a为一个特征属性

div = {d1 = [l1,u1],...} 特征属性的一个划分

class = {y1,y2,...}样本所属的类别

算法流程：

(1) 通过样本集中类别的分布，对每个类别计算先验概率p(y[i])

(2) 计算每个类别下每个特征属性划分的频率p(a[j] in d[k] | y[i])

(3) 计算每个样本的p(x|y[i])

p(x|y[i]) = p(a[1] in d | y[i]) * p(a[2] in d | y[i]) * ...

样本的所有特征属性已知，所以特征属性所属的区间d已知。

可以通过(2)确定p(a[k] in d | y[i])的值，从而求得p(x|y[i])。

(4) 由贝叶斯定理得：

p(y[i]|x) = ( p(x|y[i]) * p(y[i]) ) / p(x)

因为分母相同，只需计算分子。

p(y[i]|x)是观测样本属于分类y[i]的概率，找出最大概率对应的分类作为分类结果。

示例：

导入数据集

{a1 = 0, a2 = 0, C = 0} {a1 = 0, a2 = 0, C = 1}

{a1 = 0, a2 = 0, C = 0} {a1 = 0, a2 = 0, C = 1}

{a1 = 0, a2 = 0, C = 0} {a1 = 0, a2 = 0, C = 1}

{a1 = 1, a2 = 0, C = 0} {a1 = 0, a2 = 0, C = 1}

{a1 = 1, a2 = 0, C = 0} {a1 = 0, a2 = 0, C = 1}

{a1 = 1, a2 = 0, C = 0} {a1 = 1, a2 = 0, C = 1}

{a1 = 1, a2 = 1, C = 0} {a1 = 1, a2 = 0, C = 1}

{a1 = 1, a2 = 1, C = 0} {a1 = 1, a2 = 1, C = 1}

{a1 = 1, a2 = 1, C = 0} {a1 = 1, a2 = 1, C = 1}

{a1 = 1, a2 = 1, C = 0} {a1 = 1, a2 = 1, C = 1}

计算类别的先验概率

P(C = 0) = 0.5

P(C = 1) = 0.5

计算每个特征属性条件概率：

P(a1 = 0 | C = 0) = 0.3

P(a1 = 1 | C = 0) = 0.7

P(a2 = 0 | C = 0) = 0.4

P(a2 = 1 | C = 0) = 0.6

P(a1 = 0 | C = 1) = 0.5

P(a1 = 1 | C = 1) = 0.5

P(a2 = 0 | C = 1) = 0.7

P(a2 = 1 | C = 1) = 0.3

测试样本：

x = { a1 = 1, a2 = 2}

p(x | C = 0) = p(a1 = 1 | C = 0) * p( 2 = 2 | C = 0) = 0.3 * 0.6 = 0.18

p(x | C = 1) = p(a1 = 1 | C = 1) * p (a2 = 2 | C = 1) = 0.5 * 0.3 = 0.15

计算P(C | x) * p(x):

P(C = 0) * p(x | C = 1) = 0.5 * 0.18 = 0.09

P(C = 1) * p(x | C = 2) = 0.5 * 0.15 = 0.075

所以认为测试样本属于类型C1

Python实现

朴素贝叶斯分类器的训练过程为计算(1),(2)中的概率表，应用过程为计算(3),(4)并寻找最大值。

还是使用原来的接口进行类封装：

from numpy import *

class NaiveBayesClassifier(object):

def __init__(self):

self.dataMat = list()

self.labelMat = list()

self.pLabel1 = 0

self.p0Vec = list()

self.p1Vec = list()

def loadDataSet(self,filename):

fr = open(filename)

for line in fr.readlines():

lineArr = line.strip().split()

dataLine = list()

for i in lineArr:

dataLine.append(float(i))

label = dataLine.pop() # pop the last column referring to label

self.dataMat.append(dataLine)

self.labelMat.append(int(label))

def train(self):

dataNum = len(self.dataMat)

featureNum = len(self.dataMat[0])

self.pLabel1 = sum(self.labelMat)/float(dataNum)

p0Num = zeros(featureNum)

p1Num = zeros(featureNum)

p0Denom = 1.0

p1Denom = 1.0

for i in range(dataNum):

if self.labelMat[i] == 1:

p1Num += self.dataMat[i]

p1Denom += sum(self.dataMat[i])

else:

p0Num += self.dataMat[i]

p0Denom += sum(self.dataMat[i])

self.p0Vec = p0Num/p0Denom

self.p1Vec = p1Num/p1Denom

def classify(self, data):

p1 = reduce(lambda x, y: x * y, data * self.p1Vec) * self.pLabel1

p0 = reduce(lambda x, y: x * y, data * self.p0Vec) * (1.0 - self.pLabel1)

if p1 > p0:

return 1

else:

return 0

def test(self):

self.loadDataSet('testNB.txt')

self.train()

print(self.classify([1, 2]))

if __name__ == '__main__':

NB = NaiveBayesClassifier()

NB.test()

Matlab

Matlab的标准工具箱提供了对朴素贝叶斯分类器的支持：

trainData = [0 1; -1 0; 2 2; 3 3; -2 -1;-4.5 -4; 2 -1; -1 -3];

group = [1 1 -1 -1 1 1 -1 -1]';

model = fitcnb(trainData, group)

testData = [5 2;3 1;-4 -3];

predict(model, testData)

fitcnb用来训练模型，predict用来预测。