记录来自《剑指offer》上的算法题。

题目如下：

请实现一个函数，输入一个整数，输出该数二进制表示中1的个数。例如把9表示成二进制是1001，有两位是1，因此如果输入9，函数输出是2。

这道题目的一个基本思路是：先判断整数二进制表示中最右边一位是否为1，接着将整数右移一位，再进行判断，这样每次右移一位直到整数为0为止。其代码实现如下：

int NumbersOf1(int n){int count = 0;while(n){if (n & 1)count++;n = n >> 1;}return count;
}

但这是一个容易引起死循环的解法，当遇到负数的时候，如0x80000000，将其右移一位不是简单的将最左边的1移动到左边第二位，变成0x40000000,而是要保持负数，即移位后应该是0xC0000000，最高位依然是1，这样一直往右移动，最后得到的会是0xFFFFFFFF，从而陷入死循环。

为了避免这种情况，我们可以不移动输入的数字。而是移动1，每次将其左移一位，这样就可以与输入的数字n的从右边开始每一位进行判断是否有1。实现代码如下：

// 常规解法，判断二进制数中1的个数
int NumbersOf1(int n){int count = 0;unsigned int flag = 1;while (flag){if (n & flag)count++;flag = flag << 1;}return count;
}

这种算法的循环次数等于整数二进制的位数。

下面介绍一种更好的改进方法，其循环次数等于整数中1的个数。实现如下：

// 改进算法
int NumbersOf1Optimiz(int n){int count = 0;while (n){++count;n = (n - 1) & n;}return count;
}

其接法思路是，当一个整数减去1后，会将最右边的1变为0，而该位再往右的位都变为1，如1100，再减去1后，得到的是1011，原来最右边的1是第二位，现在变成了1，而原来是0的则变成了1，此时将1011与原来的整数1100进行与操作后，会得到1000，也就是将原来整数中最右边的1变成了0，那么一个整数的二进制中有多少个1，就可以进行多少次这样的操作，即整数减去1后与原整数进行与运算的操作。

更完整代码可以查看测试例子。