作者：Freemanzxp
简介：中科大研二在读，目前在微软亚洲研究院实习，主要研究方向是机器学习。
原文：https://blog.csdn.net/zpalyq110/article/details/79527653
Github：https://github.com/Freemanzxp/GBDT_Simple_Tutorial
本文已授权，未经原作者允许，不得二次转载
写在前面： 去年学习 GBDT 之初，为了加强对算法的理解，整理了一篇笔记形式的文章，发出去之后发现阅读量越来越多，渐渐也有了评论，评论中大多指出来了笔者理解或者编辑的错误，故重新编辑一版文章，内容更加翔实，并且在 GitHub 上实现了和本文一致的 GBDT 简易版（包括回归、二分类、多分类以及可视化），供大家交流探讨。感谢各位的点赞和评论，希望继续指出错误~Github：https://github.com/Freemanzxp/GBDT_Simple_Tutorial
简介：
GBDT 的全称是 Gradient Boosting Decision Tree，梯度提升树，在传统机器学习算法中，GBDT 算得上 TOP3 的算法。想要理解 GBDT 的真正意义，那就必须理解 GBDT 中的 Gradient Boosting 和 Decision Tree 分别是什么？
1. Decision Tree：CART回归树
首先，GBDT 使用的决策树是 CART 回归树，无论是处理回归问题还是二分类以及多分类，GBDT 使用的决策树通通都是都是 CART 回归树。
为什么不用 CART 分类树呢？因为 GBDT 每次迭代要拟合的是梯度值，是连续值所以要用回归树。
对于回归树算法来说最重要的是寻找最佳的划分点，那么回归树中的可划分点包含了所有特征的所有可取的值。在分类树中最佳划分点的判别标准是熵或者基尼系数，都是用纯度来衡量的，但是在回归树中的样本标签是连续数值，所以再使用熵之类的指标不再合适，取而代之的是平方误差，它能很好的评判拟合程度。
回归树生成算法：
输入：训练数据集 D:
输出：回归树 f(x).
在训练数据集所在的输入空间中，递归的将每个区域划分为两个子区域并决定每个子区域上的输出值，构建二叉决策树：
（1）选择最优切分变量 j 与切分点 s，求解
遍历变量 j，对固定的切分变量 j 扫描切分点 s，选择使得上式达到最小值的对 (j,s).
（2）用选定的对 (j,s) 划分区域并决定相应的输出值：
（3）继续对两个子区域调用步骤（1）和（2），直至满足停止条件。
（4）将输入空间划分为 M 个区域
，生成决策树：
2. Gradient Boosting：拟合负梯度
梯度提升树（Grandient Boosting）是提升树（Boosting Tree）的一种改进算法，所以在讲梯度提升树之前先来说一下提升树。
先来个通俗理解：
假如有个人30岁，我们首先用20岁去拟合，发现损失有10岁，这时我们用6岁去拟合剩下的损失，发现差距还有4岁，第三轮我们用3岁拟合剩下的差距，差距就只有一岁了。
如果我们的迭代轮数还没有完，可以继续迭代下面，每一轮迭代，拟合的岁数误差都会减小。
最后将每次拟合的岁数加起来便是模型输出的结果。
提升树算法：
（b）拟合残差
学习一个回归树，得到
上面伪代码中的残差是什么？
损失函数是
我们本轮迭代的目标是找到一个弱学习器
最小化让本轮的损失
当采用平方损失函数时
这里，
是当前模型拟合数据的残差（residual）
所以，对于提升树来说只需要简单地拟合当前模型的残差。
回到我们上面讲的那个通俗易懂的例子中，第一次迭代的残差是10岁，第二 次残差4岁……
当损失函数是平方损失和指数损失函数时，梯度提升树每一步优化是很简单的，但是对于一般损失函数而言，往往每一步优化起来不那么容易，针对这一问题，Freidman 提出了梯度提升树算法，这是利用最速下降的近似方法，其关键是利用损失函数的负梯度作为提升树算法中的残差的近似值。
那么负梯度长什么样呢？
第 t 轮的第 i 个样本的损失函数的负梯度为：
此时不同的损失函数将会得到不同的负梯度，如果选择平方损失
负梯度为
此时我们发现 GBDT 的负梯度就是残差，所以说对于回归问题，我们要拟合的就是残差。
log(loss)，本文以回归问题为例进行讲解。
3. GBDT算法原理
上面两节分别将 Decision Tree 和 Gradient Boosting 介绍完了，下面将这两部分组合在一起就是我们的 GBDT 了。
GBDT算法：
（2）对有：
，计算负梯度，即残差
作为下棵树的训练数据，得到一颗新的回归树
其对应的叶子节点区域为
。其
中 J 为回归树 t 的叶子节点的个数。
计算最佳拟合值
（d）更新强学习器
（3）得到最终学习器
4. 实例详解
本人用 python 以及 pandas 库实现 GBDT 的简易版本，在下面的例子中用到的数据都在 github 可以找到，大家可以结合代码和下面的例子进行理解，欢迎 star~
Github：https://github.com/Freemanzxp/GBDT_Simple_Tutorial
数据介绍：
如下表所示：一组数据，特征为年龄、体重，身高为标签值。共有5条数据，前四条为训练样本，最后一条为要预测的样本。
训练阶段：
参数设置：
学习率：learning_rate=0.1
迭代次数：n_trees=5
树的深度：max_depth=3
1.初始化弱学习器:
损失函数为平方损失，因为平方损失函数是一个凸函数，直接求导，倒数等于零，得到 c。
令导数等于0
所以初始化时，c取值为所有训练样本标签值的均值。
c=(1.1+1.3+1.7+1.8)/4=1.475，此时得到初始学习器
2.对迭代轮数m=1，2,…,M:
由于我们设置了迭代次数：n_trees=5，这里的 M=5。
的差值
此时将残差作为样本的真实值来训练弱学习器
，即下表数据
接着，寻找回归树的最佳划分节点，遍历每个特征的每个可能取值。从年龄特征的5开始，到体重特征的 70 结束，分别计算分裂后两组数据的平方损失（Square Error），
左节点平方损失，
右节点平方损失，找到使平方损失和
最小的那个划分节点，即为最佳划分节点。
例如：以年龄 7 为划分节点，将小于 7 的样本划分为到左节点，大于等于 7 的样本划分为右节点。左节点包括 x0，右节点包括样本
，
，所有可能划分情况如下表所示：
以上划分点是的总平方损失最小为0.025有两个划分点：年龄21和体重60，所以随机选一个作为划分点，这里我们选 年龄21
现在我们的第一棵树长这个样子：
我们设置的参数中树的深度 max_depth=3，现在树的深度只有 2，需要再进行一次划分，这次划分要对左右两个节点分别进行划分：
对于左节点，只含有 0,1 两个样本，根据下表我们选择 年龄7 划分
对于右节点，只含有 2,3 两个样本，根据下表我们选择 年龄30 划分（也可以选体重70）
现在我们的第一棵树长这个样子：
此时我们的树深度满足了设置，还需要做一件事情，给这每个叶子节点分别赋一个参数 γ，来拟合残差。
这里其实和上面初始化学习器是一个道理，平方损失，求导，令导数等于零，化简之后得到每个叶子节点的参数 γ，其实就是标签值的均值。这个地方的标签值不是原始的 y，而是本轮要拟合的标残差 
.
根据上述划分结果，为了方便表示，规定从左到右为第
个叶子结点
此时的树长这个样子：
此时可更新强学习器，需要用到参数学习率：learning_rate=0.1，用 lr 表示。
为什么要用学习率呢？这是Shrinkage的思想，如果每次都全部加上（学习率为1）很容易一步学到位导致过拟合。
重复此步骤，直到 
结束，最后生成5棵树。
下面将展示每棵树最终的结构，这些图都是GitHub上的代码生成的，感兴趣的同学可以去一探究竟
https://github.com/Freemanzxp/GBDT_Simple_Tutorial
第一棵树：
第二棵树：
第三棵树：
第四棵树：
第五棵树：
4.得到最后的强学习器：
5.预测样本5：
中，样本4的年龄为25，大于划分节点21岁，又小于30岁，所以被预测为0.2250。
在
中，样本4的…此处省略…所以被预测为0.2025
为什么是 0.2025？
这是根据第二颗树得到的，可以 GitHub 简单运行一下代码
在
中，样本4的…此处省略…所以被预测为0.1823
在
中，样本4的…此处省略…所以被预测为0.1640
在
中，样本4的…此处省略…所以被预测为0.1476
最终预测结果：
5. 总结
本文章从GBDT算法的原理到实例详解进行了详细描述，但是目前只写了回归问题，GitHub 上的代码也是实现了回归、二分类、多分类以及树的可视化，希望大家继续批评指正，感谢各位的关注。
Github:
https://github.com/Freemanzxp/GBDT_Simple_Tutorial
参考资料
李航 《统计学习方法》
Friedman J H . Greedy Function Approximation: A Gradient Boosting Machine[J]. The Annals of Statistics, 2001, 29(5):1189-1232.
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