求素数: 一般线性筛法 + 快速线性筛法

From: http://blog.csdn.net/dinosoft/article/details/5829550

素数总是一个比较常涉及到的内容,掌握求素数的方法是一项基本功。

基本原则就是题目如果只需要判断少量数字是否为素数,直接枚举因子2 。。N^(0.5) ,看看能否整除N。

如果需要判断的次数较多,则先用下面介绍的办法预处理。


 一般的线性筛法

首先先介绍一般的线性筛法求素数

[cpp] view plaincopyprint?
  1. void make_prime()  {        
  2.     memset(prime, 1, sizeof(prime));  
  3.     prime[0]=false;       
  4.     prime[1]=false;       
  5.     int N=31700;        
  6.     for (int i=2;  i<N;  i++)           
  7.       if (prime[i]) {            
  8.         primes[++cnt ]=i;       
  9.         for (int k=i*i; k<N; k+=i)          
  10.             prime[k]=false;         
  11.       }        
  12.     return;  
  13. }     


这种方法比较好理解,初始时,假设全部都是素数,当找到一个素数时,显然这个素数乘上另外一个数之后都是合数(注意上面的 i*i ,  比 i*2 要快点 ),把这些合数都筛掉,即算法名字的由来。

但仔细分析能发现,这种方法会造成重复筛除合数,影响效率。比如10,在i=2的时候,k=2*15筛了一次;在i=5,k=5*6 的时候又筛了一次。所以,也就有了快速线性筛法。

 

快速线性筛法

快速线性筛法没有冗余,不会重复筛除一个数,所以“几乎”是线性的,虽然从代码上分析,时间复杂度并不是O(n)。先上代码

[cpp] view plaincopyprint?
  1. #include<iostream>   
  2. using namespace std;      
  3. const long N = 200000;     
  4. long prime[N] = {0},num_prime = 0;      
  5. int isNotPrime[N] = {1, 1};     
  6. int main()      
  7. {       
  8.         for(long i = 2 ; i < N ; i ++)         
  9.         {              
  10.         if(! isNotPrime[i])                 
  11.             prime[num_prime ++]=i;    
  12.         //关键处1           
  13.         for(long j = 0 ; j < num_prime && i * prime[j] <  N ; j ++)  
  14.             {                 
  15.                 isNotPrime[i * prime[j]] = 1;    
  16.             if( !(i % prime[j] ) )  //关键处2                    
  17.                 break;             
  18.         }          
  19.     }          
  20.     return 0;     
  21. }    



首先,先明确一个条件,任何合数都能表示成一系列素数的积。

 

不管 i 是否是素数,都会执行到“关键处1”,


①如果 i 都是是素数的话,那简单,一个大的素数 i 乘以不大于 i 的素数,这样筛除的数跟之前的是不会重复的。筛出的数都是 N=p1*p2的形式, p1,p2之间不相等

 

②如果 i 是合数,此时 i 可以表示成递增素数相乘 i=p1*p2*...*pn, pi都是素数(2<=i<=n),  pi<=pj  ( i<=j )

p1是最小的系数。

根据“关键处2”的定义,当p1==prime[j] 的时候,筛除就终止了,也就是说,只能筛出不大于p1的质*i

 

我们可以直观地举个例子。i=2*3*5

此时能筛除 2*i ,不能筛除 3*i

如果能筛除3*i 的话,当 i' 等于 i'=3*3*5 时,筛除2*i' 就和前面重复了。

 

需要证明的东西:

  1. 一个数会不会被重复筛除。
  2. 合数肯定会被干掉。

根据上面红字的条件,现在分析一个数会不会被重复筛除。

设这个数为 x=p1*p2*...*pn, pi都是素数(1<=i<=n)  ,  pi<=pj ( i<=j )

当 i = 2 时,就是上面①的情况,

当 i >2 时, 就是上面②的情况, 对于 i ,第一个能满足筛除 x 的数  y 必然为 y=p2*p3...*pn(p2可以与p1相等或不等),而且满足条件的 y 有且只有一个。所以不会重复删除。


证明合数肯定会被干掉? 用归纳法吧。


 类比一个模型,比如说我们要找出 n 中2个不同的数的所有组合 { i , j } ,1<=i<=n, 1<=j<=n,

我们会这么写

for (i=1; i<n; ++i )

  for (j=i+1; j<=n; ++j)

   {

    /

   }

我们取 j=i+1 便能保证组合不会重复。快速筛法大概也是这个道理,不过这里比较难理解,没那么直观。

 

1楼提供的方法,我整理下

//偶数显然不行,所以先去掉偶数。可以看作上面第一种的优化吧。

//不过这种方法不太直观,不太好理解。

 

[cpp] view plaincopyprint?
  1. 我推荐这个算法! 易于理解。 只算奇数部分,时空效率都还不错!  
  2. half=SIZE/2;   
  3. int sn = (int) sqrt(SIZE);   
  4. for (i = 0; i < half; i++)   
  5.    p[i] = true;// 初始化全部奇数为素数。p[0]对应3,即p[i]对应2*i+3   
  6. for (i = 0; i < sn; i++) {      
  7. if(p[i])//如果 i+i+3 是素数  
  8. {       
  9.     for(k=i+i+3, j=k*i+k+i; j < half; j+=k)   
  10.     // 筛法起点是 p[i]所对应素数的平方 k^2                                          
  11.     // k^2在 p 中的位置是 k*i+k+i   
  12.     //    下标 i         k*i+k+i   
  13.     //对应数值 k=i+i+3   k^2           
  14.        p[j]=false;   
  15. }   
  16. }   
  17. //素数都存放在 p 数组中,p[i]=true代表 i+i+2 是素数。  
  18. //举例,3是素数,按3*3,3*5,3*7...的次序筛选,因为只保存奇数,所以不用删3*4,3*6....  

扩展阅读

  1. 打印质数的各种算法 http://coolshell.cn/articles/3738.html  里面有个用C++模板实现的,纯属开阔眼界,不怎么实用。
  2. 检查素数的正则表达式  http://coolshell.cn/articles/2704.html  数字n用  1111。。1 (n个1)表示,纯属坑爹。

===========================================================================

以上完整源码(a.cpp)

/*
功能: 	求[0, 20000)间的所有素数, 假设内存空间足够
环境:	Linux C++
编译:	g++ -o a a.cpp -Wall -Os
总结:	这两种算法在性能上差距不是很大, 当N个数较少时, 还是"一般线性筛选法"速度更快,
但是当N较大时, 快速线性筛选法的优势更加明显
*/
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define N 20000
// 一般线性筛选法: 会出现重复筛选同一个数
void make_prime(int primes[], int& cnt)
{
bool bPrime[N];		// 质数标志数组
cnt = 0;			// 素数个数
memset(bPrime, true, sizeof(bPrime));// 假设全是素数
bPrime[0] = false;					// 0: 非素数
bPrime[1] = false;					// 1: 非素数
for (int i = 2; i < N; i++)
{
if (bPrime[i])					// i是素数
{
primes[cnt++] = i;			// 将素数i保存到bPrimes[]中
// 作筛选: i的倍数都不是素数
for (int k = i * i; k < N; k += i)	// 将素数i的倍数全置为非素数标志
bPrime[k] = false;
}
}
}
// 快速线性筛选法: 不会出现重复筛选同一个数
void getPrimes(int primes[], int& cnt)
{
bool bPrime[N];		// 素数标志数组
cnt = 0;		// 素数个数
memset(bPrime, true, sizeof(bPrime));	// 假设全部为素数
bPrime[0] = false;	// 0: 非素数
bPrime[1] = false;	// 1: 非素数
for(int i = 2; i < N; i++)
{
if(bPrime[i])	// i是素数
primes[cnt++] = i;			// 保存素数i
// 作筛选: i与素数的乘积都不是素数
for(int j = 0; j < cnt && i * primes[j] < N; j++)
{
bPrime[i * primes[j]] = false;	// 置非素数标志
if(i % primes[j] == 0)		// i为素数的倍数
break;
}
}
}
int main()
{
int primes[N];		// 保存所有素数
int cnt = 0;		// 素数个数
#if 1
make_prime(primes, cnt);	// 调用一般线性筛选法
#else
getPrimes(primes, cnt);		// 调用快速线性筛选法
#endif
for(int i = 0; i < cnt; i++)
printf("primes[%d] = %d\n", i, primes[i]);
printf("\n素数个数cnt=%d\n", cnt);
return 0;
}


 

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/403473.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

uni-app微信小程序uni.getLocation获取位置;authorize scope.userLocation需要在app.json中声明permission;小程序用户拒绝授权后重新授权

需求&#xff1a;点击按钮获取当前微信位置&#xff0c;以及点击拒绝授权后&#xff0c;下次点击还可以拉起授权窗口&#xff1b; 拒绝授权后重新拉起授权操作&#xff1a; 直接授权操作&#xff1a; 一、问题1&#xff1a;报authorize scope.userLocation需要在app.json中声明…

安装了cnpm,还是报错cnpm : 无法加载文件 C:\Users\admin\AppData\Roaming\npm\cnpm.ps1,因为在此系统上禁止运行脚本。

当我安装了cnpm 但是使用的时候还是报错&#xff1a; 解决方法&#xff1a; 1、以管理员身份打开Windos PowerShell 2、输入“ set-ExecutionPolicy RemoteSigned”回车 3、根据提示&#xff0c;输入A或Y&#xff0c;回车 4、再次执行cnpm -v&#xff0c;即可看到提示版本…

PHP代码审计之反序列化攻击链CVE-2019-6340漏洞研究

关键词 php 反序列化 cms Drupal CVE-2019-6340 DrupalKernel 前言 简简单单介绍下php的反序列化漏洞 php反序列化漏洞简单示例 来看一段简单的php反序列化示例 <?phpclass pingTest {public $ipAddress "127.0.0.1";public $isValid False;public $output…

Portal-Basic Java Web 应用开发框架:应用篇(八) —— 整合 Freemarker

Portal-Basic Java Web应用开发框架&#xff08;简称 Portal-Basic&#xff09;是一套功能完备的高性能Full-Stack Web应用开发框架&#xff0c;内置稳定高效的MVC基础架构和DAO框架&#xff08;已内置Hibernate、MyBatis和JDBC支持&#xff09;&#xff0c;集成 Action拦截、F…

日常遇到的小问题

日常开发过程中&#xff0c;总会遇到各种小问题&#xff0c;特此记录下各种解决。 1. eclipse中部署项目到tomcat&#xff0c;启动tomcat时报错&#xff1a;  Resource is out of sync with the file system: ................ 太长只截取前一段&#xff0c;解决办法&#xff…

原始套接字抓取所有以太网数据包与分析

If you have any idea, just send comments to me. ####1.原始套接字介绍 关于socket使用客户机/服务器模型的 SOCK_STREAM 或者 SOCK_DGRAM 用于 TCP 和 UDP 连接的应用更为普遍一些&#xff0c;而如果考虑到从网卡中直接捕获原始报文数据就需要用到原始套接字 SOCK_RAW 类型…

Go在谷歌:以软件工程为目的的语言设计

From: http://www.oschina.net/translate/go-at-google-language-design-in-the-service-of-software-engineering 1. 摘要 (本文是根据Rob Pike于2012年10月25日在Tucson, Arizona举行的SPLASH 2012大会上所做的主题演讲进行修改后所撰写的。) 针对我们在Google公司内开发软件…

微信小程序,用户拒绝授权后重新授权;uni-app小程序,用户拒绝授权后点击无效;重新进入后拉起位置授权框;

问题&#xff1a;当用户第一次进入小程序&#xff0c;点击授权按钮后&#xff0c;点了拒绝&#xff0c;再次点击不会出现授权页面&#xff0c;只有再次进入小程序的时候&#xff0c;才会出发请求授权 。 案例&#xff1a; 假如我们获取微信位置&#xff0c;第一次点击的时候弹起…

运维工程师必会的109个Linux命令

运维工程师必会的109个Linux命令 版本1.0 崔存新 更新于2009-12-26 目录 1 文件管理 6 1.1 basename 6 1.2 cat 6 1.3 cd 7 1.4 chgrp 7 1.5 chmod 8 1.6 chown 9 1.7 comm 10 1.8 cp 10 1.9 cut 11 1.10 dd 12 1.11 diff 13 1.12 dir 14 1.13 dos2unix 16 1.14 egrep 17 1.15…

网卡混杂模式介绍与设置

1.混杂模式介绍 混杂模式就是接收所有经过网卡的数据包&#xff0c;包括不是发给本机的包。默认情况下网卡只把发给本机的包&#xff08;包括广播包&#xff09;传递给上层程序&#xff0c;其它的包一律丢弃。简单的讲,混杂模式就是指网卡能接受所有通过它的数据流&#xff0c…

eclipse使用技巧---使用正则表达式查找替换

1&#xff0c;Eclipse ctrlf 打开查找框2&#xff0c;选中 Regular expressions (正则表达式)去掉/* */(eclipse) /\*(.|[\r\n])*?\*/去掉//(eclipse) //.*$去掉import(eclipse) import.*$去掉空行(eclipse) ^\s*\n去掉空行(ue) …

​浅拷贝与深拷贝​

浅拷贝 与深拷贝 一、数据类型 数据分为基本数据类型(String, Number, Boolean, Null, Undefined&#xff0c;Symbol)和对象数据类型。 基本数据类型的特点&#xff1a;直接存储在栈(stack)中的数据 引用数据类型的特点&#xff1a;存储的是该对象在栈中引用&#xff0c;真实…

更改微信小程序的基础版本库;更改uni-app小程序基础库;更改用户的微信小程序基础库最低版本;设置用户的微信小程序版本库;

需求场景&#xff1a;微信小程序不少API都有最低版本支持&#xff0c;为了避免不必要的麻烦&#xff0c;我们可以根据需要给小程序设置基础库最低版本&#xff0c;这样若用户使用的基础库版本低于设置的最低版本要求&#xff0c;则无法正常使用小程序&#xff0c;并提示更新微信…

[python-thirdLib] Python中第三方的用于解析HTML的库:BeautifulSoup

From: http://www.crifan.com/python_third_party_lib_html_parser_beautifulsoup/ 背景 在Python去写爬虫&#xff0c;网页解析等过程中&#xff0c;比如&#xff1a; 如何用Python&#xff0c;C#等语言去实现抓取静态网页抓取动态网页模拟登陆网站 常常需要涉及到HTML等网…

VMware 常见使用问题梳理

1.“Transport(VMDB)error -44:Message” 这种情况说明虚拟机的一个服务没有开启&#xff0c;在本机中找到服务&#xff1a;“打开运行”-“services.msc”回车。找到VMware Authorization Service这个服务&#xff0c;启动起来就OK了。 2.提示”此虚拟机被配置为64位操作系统…

图灵社区 : 阅读 : 谁说Vim不是IDE?(三)

图灵社区 : 阅读 : 谁说Vim不是IDE&#xff1f;&#xff08;三&#xff09;Powerline1、下载地址https://github.com/Lokaltog/vim-powerline2、功能说明Powerline是Vim的一个非常漂亮的状态栏插件&#xff0c;安装了Powerline之后&#xff0c;Vim底部将会出现一个增强型状态栏…

uni-app小程序onShow执行两次;微信小程序onShow重复执行原因;导航栏tabBar页的onLoad函数不执行;App.vue页的onShow执行原因;onShow莫名其妙执行

1.只有五种情况会触发导航栏tabBar页的onLoad函数&#xff0c;分别是&#xff1a; –1.1&#xff1a;首次进入到导航栏tabBar页面&#xff1b; –1.2&#xff1a;从微信分享进入的导航栏tabBar页面&#xff1b; –1.3&#xff1a;识别二维码跳转到小程序的导航栏tabBar页面&…

用fiddler抓包小程序

第一步&#xff1a;安装fiddler,保证手机和PC端在同一个wifi下&#xff1b; 第二步&#xff1a;设置属性按图勾选第三步&#xff1a;以上两步设置完后&#xff0c;重启下fiddler(解决本地服务器不能访问)&#xff0c;然后查看本地IP地址第四步&#xff1a;手机设置HTTP代理 我的…

[Python2.x] 标准库 urllib2 的使用细节

From: http://www.cnblogs.com/yuxc/archive/2011/08/01/2123995.html 刚好用到&#xff0c;这篇文章写得不错&#xff0c;转过来收藏。 转载自 道可道 | Python 标准库 urllib2 的使用细节 Python 标准库中有很多实用的工具类&#xff0c;但是在具体使用时&#xff0c;标准…

草稿--Windows消息机制

消息本身是作为一个记录传递给应用程序的&#xff0c;这个记录中包含了消息的类型以及其他信息。 MSG含有来自windows应用程序消息队列的消息信息&#xff0c;它在Windows中声明如下&#xff1a;typedef struct tagMsg{HWND hwnd; // 接受该消息的窗口句柄UINT mes…