最小生成树，prim算法

Prim算法和Kruskal算法都是用于解决最小生成树问题的经典算法，它们在不同情况下有不同的适用性和特点。

Prim算法：

Prim算法是一种贪心算法，用于构建一个无向图的最小生成树。算法从一个初始节点开始，逐步添加与当前树连接且具有最小权重的边，直到所有节点都被连接。Prim算法的基本思想是从一个起始节点出发，每次选择一个与当前最小生成树相连的节点中，权重最小的边，将这个节点加入最小生成树中，并将其相连的边考虑进来。这样逐步扩展最小生成树，直至所有节点都被包含。

Kruskal算法：

Kruskal算法也是一种贪心算法，用于构建一个无向图的最小生成树。该算法首先将图中的所有边按照权重从小到大进行排序，然后从最小权重边开始，依次将边加入生成树中，但要保证加入边不会形成环。如果加入某条边会导致环的形成，则放弃该边，继续考虑下一条权重较小的边，直到生成树中包含了所有的节点。

区别：

基本思想：Prim算法从一个起始节点开始，逐步添加与当前最小生成树相连的具有最小权重的边。Kruskal算法通过排序边，然后逐个添加边，保证不形成环。

顶点处理：Prim算法在每一步选择中，仅考虑与当前已选择顶点相连的顶点，直接操作顶点。Kruskal算法是通过遍历边的方式进行操作，不直接关心顶点。

数据结构：Prim算法通常使用优先队列（最小堆）来维护待选的边，以便每次选择具有最小权重的边。Kruskal算法则通常使用并查集来判断是否会形成环。

性能：在边的数量较少，而顶点的数量较多时，Prim算法通常会更有效。而在边的数量较多，而顶点的数量较少时，Kruskal算法可能更适用。

复杂度：Prim算法的时间复杂度通常在 O(V^2) 到 O(E* log(V)) 之间，取决于实现方式。Kruskal算法的时间复杂度主要由排序边的复杂度决定，通常为 O(E * log(E))。

总的来说，两种算法都能有效地构建最小生成树，但在不同情况下选择合适的算法可以提高效率。

1135. 最低成本联通所有城市

想象一下你是个城市基建规划者，地图上有 n 座城市，它们按以 1 到 n 的次序编号。

给你整数 n 和一个数组 conections，其中 connections[i] = [xi, yi, costi] 表示将城市 xi 和城市 yi 连接所要的costi（连接是双向的）。

返回连接所有城市的最低成本，每对城市之间至少有一条路径。如果无法连接所有 n 个城市，返回 -1

该最小成本应该是所用全部连接成本的总和。

在这里插入图片描述
代码实现：

// 定义边
struct Edge{int city;int cost;
};// 定义 边的比较方法
// cost值较小的Edge对象具有更高的优先级，
// 因为EdgeComparator在a的cost大于b的cost时返回true，
// 这意味着在优先级队列中，a应该在b之后。
// 所以，这个优先级队列是一个最小堆（min heap），即队列顶部总是cost最小的Edge对象
struct EdgeComparator{bool operator()(const Edge& a,const Edge& b){return a.cost>b.cost;}
};class Solution {
public:int minimumCost(int n, vector<vector<int>>& connections) {// 连接所有点需要的costint cost = 0;vector<vector<Edge>> edges(n+1);// 定义访问数组vector<bool> visited(n+1,false);//  定义优先队列, cost小的排在前面priority_queue<Edge, vector<Edge>, EdgeComparator> minHeap;visited[1] = true;// 从城市1开始// 建立Edge二维数组// 每个点会对应一个list，每个list中存储：和这个点相连的城市以及到相连城市的距离for(const auto& conn:connections){// 是双向的edges[conn[0]].push_back(Edge{conn[1],conn[2]});edges[conn[1]].push_back(Edge{conn[0],conn[2]});}// 先把和1点相连的Edge进行排序，放入优先队列for(const Edge& edge:edges[1]){minHeap.push(edge);}// 连接点的数量，初始为1int count = 1;while(!minHeap.empty()){Edge e = minHeap.top();minHeap.pop();if(visited[e.city]){// 如果已经访问过某一点了，则直接进入下一次循环continue;}// 如果没有访问过，就设置为truevisited[e.city] = true;// 再把和这个点相连的Edge push进优先队列for(const Edge& edge:edges[e.city]){minHeap.push(edge);}cost += e.cost;// 连接点的数量+1count++;if(count == n){return cost;}}return -1;}
};

1584. 连接所有点的最小费用

给你一个points 数组，表示 2D 平面上的一些点，其中 points[i] = [xi, yi] 。

连接点 [xi, yi] 和点 [xj, yj] 的费用为它们之间的曼哈顿距离：|xi - xj| + |yi - yj| ，其中 |val| 表示 val 的绝对值。

请你返回将所有点连接的最小总费用。只有任意两点之间有且仅有一条简单路径时，才认为所有点都已连接。

在这里插入图片描述

完全仿照上面一题的代码，写出了这题的代码，唯二的区别在于，需要自己额外计算一下每个点之间的距离，并且不满足条件时返回0：

// 定义结构体Edge
struct Edge{int city;int cost;
};struct EdgeComparator{bool operator()(const Edge& a,const Edge& b){return a.cost>b.cost;}
};// 计算曼哈顿距离
int compute_Manhattan(vector<vector<int>>& points,int p1,int p2){return abs(points[p1][0]-points[p2][0]) + abs(points[p1][1]-points[p2][1]);
}class Solution {
public:int minCostConnectPoints(vector<vector<int>>& points) {int cost = 0;int n = points.size();// 点的个数vector<vector<Edge>> edges(n);priority_queue<Edge, vector<Edge>, EdgeComparator> minHeap;vector<bool> visited(n,false); // 访问数组visited[0] = true; // 从0点开始searchint count = 1; // 已经访问到了的点（已经相连的点）// 建立了 邻接表for(int i = 0;i<n-1;i++){for(int j = i+1;j<n;j++){// 两点间的曼哈顿距离int distance = compute_Manhattan(points,i,j);edges[i].push_back(Edge{j,distance});edges[j].push_back(Edge{i,distance});}}// 把和0点相关的点push进最小堆for(const Edge& edge:edges[0]){minHeap.push(edge);}while(!minHeap.empty()){Edge e = minHeap.top();minHeap.pop();if(visited[e.city]){// 如果已经访问过该点，则进入下一次循环continue;}visited[e.city] = true; // 标记访问过该点// 再把和该点相连的点push 进 minHeapfor(const Edge& edge:edges[e.city]){minHeap.push(edge);}cost += e.cost; // 加上和这个点相连的costcount++;if(count == n){// 如果n个点都相连了，返回cost即可return cost;}}return 0;}
};