* 有限元方法——介绍 有限元方法是数值求解偏微分方程边值问题的一种方法，此方法首先于20世纪50年代初由工程师提出，并用于求解简单的结构问题。有限元方法是这一种系统的数值方法，并奠定其数学基础，是在60年代中期以冯康先生为代表的中国学者与西方学者独立并行完成的。 有限元方法不同于差分方法，主要有以下三大特点： (1)从数学物理问题的变分原理出发，而不是从微分方程出发，因此事从问题的整体描述而不是从问题的局部描述出发。 (2)对所考虑问题的区域(以二维情形为例)作三角形(或其他简单多边形)剖分，而不是仅作矩形剖分。 (3)用剖分区域上的简单函数(如分片多项式)去逼近原问题的解，而不是只在剖分节点上的数值逼近。 * 有限元方法——一维边值问题算例 用有限元方法求解如下一维边值问题： 解：一维边值问题线性有限元数值解法的MATLAB程序如下： %线性有限元方法 %参数设置 N=10; X=0:1/(N+1):1; b=zeros(N+1,1); A=zeros(N+1,N+1); for i=2:N+1 F1=@(x)2*(N+1)*(x-X(i-1)).*sin(pi*x/2);%句柄函数 R1=quad(F1,X(i-1),X(i)); F2=@(x)2*(N+1)*(X(i+1)-x).*sin(pi*x/2); R2=quad(F2,X(i),X(i+1)); b(i-1)=R1+R2; * end F1=@(x)1.*sin(pi*x/2); b(N+1)=quad(F1,X(N+1),X(N+2)); %quad:数值积分 %适应度矩阵 a11=(N+1)+(pi^2)/(12*(N+1)); a12=-(N+1)+(pi^2)/(24*(N+1)); for i=1:N A(i,i)=2*a11; A(i,i+1)=a12; A(i+1,i)=a12; end A(N+1,N+1)=a11; %得到初始数值解 %解方程Ax=b c=A\b; x=vertcat(0,c);%垂直串联矩阵 y=4/(pi^2)*sin(pi*X/2); y=y'; Error=x-y; %绘制图像 figure(1); 有限元方法——一维边值问题算例 * grid on; plot(X,y,'ro-',X,x,'b^'); title('Numerical solutions vs Accurate solutions'); legend('Accurate solutions','Numerical solutions',0);%添加图例 如图所示为数值解与解析解的比较，可知有限元方法对这个一维边值问题是比较好的。 有限元方法——一维边值问题算例 * MATLAB的pedpe函数——pedpe函数的说明 MATLAB软件提供了pdepe函数，该函数不但可以用来求解偏微分方程，也可以用来求解偏微分方程组，函数的调用格式为： 输入的参数中 @pdefun是偏微分方程的描述函数，方程必须具有如下形式 函数pdefun由用户自己编写，函数形式为： 其输出的c,f,s即为式(1)中的三个已知函数c,f,s,它们也可以是向量值函数，x,t,u与方程(1)中的参数意义相同，du表示的是u对x的一阶倒数。 (1) * MATLAB的pedpe函数——pedpe函数的说明 @pdebc是偏微分方程的边界条件描述函数，函数必须具有如下形式： 函数pdebc由用户自己编写，函数形式为： 其中是xa,xb,ua,ub分别表示变量x,u的下边界和上边界。 @pdeic是偏微分方程的初始条件描述函数，函数必须具有如下形式： 函数pdeic由用户自己编写，函数形式如下： 函数pdepe中的m即为方程(1)中的m。x,t是偏微分方程的自变量，它们一般是多维向量。 输出的sol是一个三维数组，sol(i,j,k)表示的是自变量分别取x(i),t(j)时u(k)的值。由sol可以直接通过pdeval()某个点的函数值。 * MATLAB的pedpe函数——pedpe函数的实例 求解偏微分方程组 (2) 解：分别编写pdefun函数、pdebc函数、pdeic函数： * MATLAB的pedpe函数——pedpe函数的实例 %% 目标PDE函数 function [c,f,s]=pdefun (x,t,u,du) c=[1;1]; f=[0.024*du(1);0.17*du(2)]; temp=u(1)-u(2); s=[-1;1].*(exp(5.7