3 形式化关系查询语言

3.2 关系演算和E-R数据模型

3.2.1 概述

除了用关系代数表示关系操作外，还可以用谓词演算来表达关系的操作，这称为关系演算。

关系代数表示关系的操作，须标明关系操作的次序，哪个操作先哪个后你要说清楚，所以以关系代数为基础的数据库语言是过程化查询语言。用关系演算表示关系的操作，只要说明所要得到关系的结果，而不必标明操作的过程，因而他是非过程的。关系演算分为元组关系演算和域关系演算。

3.2.2 元组关系演算

3.2.2.1 概述

元组关系演算就是以元组为变量，一般形式是$t[<属性表>]|P(t)$。

一般形式描述了其为使谓词P为真的元组t的集合。当我们选的不是元组，而是元组的部分属性的时候，就可以采用属性表。

利用关系演算是可以做关系代数的所有操作的。举一个例子，如果我们要查询江苏籍贯的女大学生姓名，那么我们会这么写：
$$t[姓名]|t\in STUDENTANDt.性别{=}^{\prime }{女}^{\prime }andt.籍贯{=}^{\prime }江{苏}^{\prime }$$
但是对于上面的查询，我们只是表达了要查找的元组是在所表达的条件之中。为了表达要查询的请求，我们需要引入数理逻辑的“存在”这一结构。记法为：$\exists t\in r(Q(t))$。这样的意思是表示关系r中存在元组t使谓词Q(t)为真。并且，我们在考试中很少写and和or，而是改用$\bigwedge 和\bigvee$来代替。

用上面的表达来表示上面的例子，即为：$t[姓名]|\exists t\in STUDENT\bigwedge t.性别{=}^{\prime }{女}^{\prime }\bigwedge t.籍贯{=}^{\prime }江{苏}^{\prime }$。

那如果我们想表示学生表里不是江苏籍贯的女大学生的姓名呢？这只需要用 $┐$，即否定符号，如下：$t[姓名]|\neg \exists t\in STUDENT\bigwedge t.性别{=}^{\prime }{女}^{\prime }\bigwedge t.籍贯{=}^{\prime }江{苏}^{\prime }$

如果我们要表达那些是江苏所有的大学生呢？我们会发现，这里面含有一个所有的概念，为了用元组关系演算书写此查询，我们引入了$\forall$。

在上面的叙述中我们发现，我们基本都是把高中课本上面的谓词全部搬上来关系演算使用。

3.2.2.2 形式化定义

结果上一小节的叙述，我们知道元组关系演算表达式具有如下形式：$t|P(t)$。其中P是一个公式，公式中可以出现多个元组变量。对于没有被量词绑定的变量，我们称为自由变量。如果被量词绑定了，我们称为受限变量。

对于元组关系演算的公式，其由原子组成，原子可以是如下的形式之一：

• 如果是s∈r，那么代表s是元组变量r是关系。这是需要注意的是我们不允许使用$\notin$。
• 对于s[x]op[y]，那么其中op为<,>,=,<=,>=,!=当中任意一个。

3.2.2.3 表达式的安全性

元组关系演算与关系代数具有同等表达能力，也是关系完备的。用谓词演算表示关系操作时，只有结果是有限集才有意义。也就是说，一个表达式的结果如果是有限的，我们叫做表达式是安全的。反之，我们说他是不安全的。例如{t∣t¬∈STUDENT}\{t| t ¬ ∈STUDENT\}{t∣t¬∈STUDENT}，宇宙中不属于学生的东西是无限的，这个表达式是不安全的。

3.2.3 域关系演算

关系演算的另一种形式为域关系演算，使用从属性域中取值的域变量，而不使用一整个元组的值。

就是关系代数是SQL语言的基础一样，域关系演算是被广泛采用的QBE语言。

域关系演算一般以域为变量，其一般形式为：$<x1,x2,\dots ,xn>|P(x1,x2,\dots x(n+m))$。

这样说我们可能有点费解。在下面，我们有完整的习题可供练习。

域关系演算也是完备的，实际上这个案例和选择操作很像。

3.2.4 关于关系演算的习题

对于1、3、5写出元组关系演算，对于2、4、6写出域关系演算。

这里留给各位看官一个BUG，第5题由于我的技术可能写的不对，网上的答案也是错的。所以如果是错的可以给我来个答案，如果是对的给我个提醒哈哈。

3.2.5 对传统数据模型的评价

一般来说，我们把层次，网状和关系数据模型称为传统数据模型。对于传统数据模型来说有四个弱点：

• 以记录为基础，不能很好地面向用户和应用

  比如衣服，有一个衣服的表，里面有个属性是衣服的袖口类型，但是在现实世界中有很多连袖口都没有的衣服，虽然有NULL可以作为填补，但是用NULL是迫不得已，并不是一种自然的表示。

• 不能以自然的方式表示实体之间的联系。

  有些联系本来不是那种PCR关系，不是链表关系，但是我们还是要引入什么link，什么虚记录来表示这些关系，这些表示是很不自然的。

• 语义贫乏。

  比如你定义了一个表，表里面有学生的性别、年龄、身高、体重，但是你却不知道他们本身代表什么意思，我可以说这是学生的医疗记录，也可以说这是入学信息报告。还有表与表直接的联系，由于没有标明联系，有时候用户还需要查帮助文档和一些文件才能了解。所以，由于语义不明，导致就算语义理解错了也要用户自己负责。

• 数据类型太少，难以满足应用需要。

3.2.6 E-R数据模型

3.2.6.1 基本概念

E-R数据模型，也叫实体联系数据模型。其提出的目的如下：

1. 企图建立一个统一的数据模型，以概括三种传统的数据模型；
2. 作为三种传统数据模型互相转换的中间概念
3. 作为超脱DBMS的一种概念数据模型，以比较自然的方式模拟现实世界。

在E-R数据模型中有三个概念我们需要先知道，分别是实体，属性，联系。

实体

• 概念：凡是可以被人互相区别的东西就叫实体。

• 范例：飞机，春游，神，梦。

• 注意：同类实体我们可以归为一类，称为实体集。

• 范例：用E代表学生的实体集，那么E = {e|e是学生}

属性

• 概念：实体的特征叫实体的属性，属性取值的范围叫值集。值集的说法相当于关系数据模型里的属性域。

联系

• 概念：实体之间（也包括和实体集）的各种关系我们称之为联系。

• 范例：某个学生（实体）和课程（实体）之间有选课关系。学生（实体集）和课程之间的选课关系。人与人直接有领导关系，夫妻关系。

• 表示方法：如果实体e1，实体e2之间有联系，我们用<e1,e2>来表示，扩展到n个实体，我们用<e1,e2…,en>来表示，当n>2的时候，我们称为多元联系。

联系集

概念：比如说夫妻是一种联系，那么具体的比如：<e1,e2>两个人就是这个联系的实例，生活中是夫妻的不止一对，所以多个实例我们用集合包括起来，称为联系集。

有时为了表明实体在联系中的作用，我们会这么表示，以夫妻为例：

$$<r1/e1,r2/e2，\dots ,rn/en>$$
其中r表示哪个是夫，哪个是妻。

说明：联系虽然用元组表示，但实体间的次序不是重要的，尤其标明作用后，他们的次序可以任意。

3.2.6.2 E-R图

用E-R数据模型对一个单位的模拟，称为一个单位的E-R数据模式。E-R数据模式可以用非常直观地E-R图来表示。

其中矩形框代表实体，菱形代表联系，椭圆代表属性。

需要注意的是，上述的表示实际上是不完整的，但是在大学考试以及考研中只要求用上述表述即可。

其他表示：

• 未分割的矩形代表联系集的属性
• 虚线将联系集属性连接到联系集
• 双线显示实体在联系集中的参与度
• 双菱形表示弱实体集

对于E-R图来说有两个约束：基数比约束和参与度约束。它们两个合称联系约束。

基数比约束

比如联系有1：1，1：N，N：1，M:N。我们把这个数量上实体间的约束称为基数比约束。基数比约束在数据库原书上也被称为映射基数。

范例：一个员工只能在一个工作部门工作，这就是1：1。

参与度约束

比如这个银行卡账号你最多只能取钱5次，比如这门课最多容纳学生150人，这就是参与度约束。

表达方式：（min，max）

3.2.7 题型总结

3.2.7.1 如何画E-R图

步骤总结：

1. 找出实体并用矩形表示
2. 找出实体的属性用椭圆表示
3. 找出实体间的关系，用菱形表示

3.2.7.2 E-R图转关系模式

步骤总结：

1. 实体转换为一个关系模式

2. 实体的属性就是关系的属性，实体的码就是关系的码

3. 实体间联系的转换

   • 1:1联系：在任意一方加入对方的主码变为外码，并加入联系本身的属性。

   • 1:n联系：将1方的主键加入n方作为其外键，并同时将联系的属性也加入n方。

   • m:n联系：将联系本身本身转化为一个关系模式，联系双方的主码加入其中，并将联系的属性加入其中。

3.2.8 扩充E-R数据模型

扩充E-R数据模型我们通常称为EER，在EER引入以下的几个概念：弱实体、特殊化和普遍化、聚集、范畴。

弱实体（Weak entity）

弱实体实际上可以当成实体，可以当成属性，由数据库库设计者决定。

范例：比如一个职工，他的家属实体集可能有姓名，出生日期，和职工的关系这些属性，但是家属的姓名是可以重复的。什么意思呢，简而言之就是家属实体集中的表没有键（没有实体键），导致失去了辨认家属的能力了，所以一般来说弱实体可以不做实体，只当做拥有这个实体集的那个实体（所有者实体）的组合属性。

特殊化和普遍化（Specialization and Generalization）

范例：从普遍到特殊叫特殊化，在一些书上也叫做特化；如学生是普遍，划分为研究生高中生本科生是特殊，研究生还可以继续划分为学术型研究生和专业性研究生。反之叫普遍化，在一些书上叫做概化。

聚集（Aggregation）

就是把实体集和联系看成新的一个实体集，新的实体集中的属性是原来实体集的属性和联系的属性的并。

范畴（Category）

在模拟现实世界时，有时候要用到不同类型的实体组成的实体集。我们把这类实体集叫做范畴。

• 范例：车主有可能是一个人，有可能是一个企业的单位。

• 表达方式：T（E1,E2,E3,…,En)

• 说明：其中里面的不同的实体集我们叫做超实体集，例如E1是超实体集。

• 图例：圆圈∪代表并操作。

这里有一点需要说明一下，我们前面说过特殊化，特殊化也就是一个子类对于父类的继承，并且继承了所有的属性，但是范畴不一样。拿这个例子来说，单位和人构成范畴，但是这个账户不是说既是单位又是人的，他的继承具有选择性，如果账户是单位的，则继承单位的属性，是个人的继承个人的属性，这叫选择性继承。