我们先给出推导的方法，然后下面一步一步来推导。

推导大O阶

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3. 如果最高阶存在且不是1，则去除这个项相乘的常数
4. 所得结果即为大O阶

示例

int sum = 0，n = 100; //以分号结尾，代码执行一次
sum = (1+n)*n/2 //执行一次
cont<<sum<<endl; //执行一次

运行次数为3，而在上面推导的推导大O阶方法中我们说了，用1代码所有的加法，什么意思呢？我们的3是经过1+1+1算出来的，我们用1代替所有的加法。而这个表达式只有1，没有最高阶项，所以结果1即为大O阶。我们把具有O（1）的时间复杂度的叫做常数阶。

int i;
for(i = 0;i<n;i++)
{/*其他常数阶程序代码*/
}

我们可以发现，花括号里的就是常数阶，而for循环循环了n次，也就是说，做了n+常数阶次执行次数，根据上面推导大O阶方法，我们找到了最高阶项n，舍弃后面常数项，所以我们的时间复杂度为O(n)，我们把这类情况称为线性阶。

顺便一提，一般来说，我们分析算法的时间复杂度，关键就是分析循环结构的运行情况。

int count = 1;
while(count < n)
{count = count * 2;/*其他常数阶程序代码*/
}

从这里的代码我们可以看出，退出循环的条件是count<n，而count是通过自身乘2来更新自我然后跳出循环的。也就是说，设count更新次数为x，其可以写出$2^x=n$的式子，而我们大O(n)里面的n实际上指的是这里的x，根据高中数学所学的指对互换，我们可以写出$x=lo{g}_{2}n$。所以这个循环的时间复杂度为O(logn)，我们把这类情况叫做对数阶。

int i ,j ; 
for (i - 0; i < n; i++) {for ( j - 0 ; j < n ; j++ ){/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/}
}

对于这种就不必多说了，时间复杂度为O$(n^2)$。我们把这类情况叫做平方阶。

说完上面所有的情况了，现在我们来几个题来练手。

x = 0;y = 0;
for(int k = 0;k<n;k++){x++;
}
for(int i = 0;i<n;i++){for(int j = 0;j<n;j++){y++;}
}

分析算法，根据推导大O阶方法，第一行执行1次，第一个循环执行n次，第一个内嵌循环外层n次，内层n次，也就是n的平方。把常数变为1，然后抓大头，最高项系数为1，那么只剩下$n^2$。所以该代码的时间复杂度为O$(n^2)$，从完整的代码分析下来我们也可以发现，实际上我们只需要找最复杂的那个循环开始分析就可以了，因为其他的代码所含的时间复杂度最终根据推导大O阶方法都会被省略。下面看一个比较难的例子。

void exam(fload x[][],int m,int n)
{float sum[];for(int i = 0;i<m;i++){sum[i] = 0.0;for(int j = 0;j<n;j++){sum[i]+=x[i][j];}}for(i = 0;i<m;i++)cout<<i<<":"<<sum[i]<<endl;
}

最复杂的就是中间的内嵌循环，外层循环为从0到m，内层循环0到n，所以该时间复杂度应为O(m+n)。

for(i = 1;i<=n;i++)for(j = 1;j<=n;j++){c[i][j]=0;for(k = 1;k<=n;k++)c[i][j] = c[i][j]+a[i][k]*b[k][j];}

上面这个是一个N×N矩阵相乘的算法，连续三层循环，第一次执行次数为n，第二层执行次数也为n，第三层执行次数还是n。所以该题算法复杂度为O$(n^3)$。

for(i = 1;i<=n;i++)for(j=1;j<=i;j++)for(k=1;k<=j;k++)x = x+1；

这里最外层执行次数n，但是最外层执行1次，第二层就循环1次；最外层执行第2次，第二层循环两次；根据等差数列求和公式，即第二层有1+2+3+…+n，即$\frac{n(1+n)}{2}$次。当然第三层就不好理解了，所以我们接下来换一种方法。

对于三层循环问题，我们还是直接列出最外层的前几项比较好。在i = 1的时候，内层循环全部加起来只循环一次。在i = 2的时候，第二层循环启动两次循环，所以总共执行1+2，对于i = 3，第二层启动三次循环，第三层也是三次循环。也就是说总共执行1+2+3。如果听不太懂，我们可以用图来表示，即：

所以实际上以上规律是由n来控制的，从上面的图来看的话，根据我们所得规律，i=1里面有一个$\frac{i(1+i)}{2}$，i = 2里面也有一个$\frac{i(1+i)}{2}$，以此类推我们可以写出下面的式子：${\sum }_{i=1}^n\frac{i(i+1)}{2}$。

我们化简一下上面的式子：${\sum }_{i=1}^n(\frac{i^2}{2}+\frac{i}{2})=\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^n(i^2-i)$。

这里用等差求和公式带入求解，即可得出答案$\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$，根据我们前面说的大O阶推导，可以得出本题的时间复杂度为$n^3$。