快速幂、矩阵快速幂、快速乘法

快速幂

快速幂是我们经常用到的一种算法，快速幂顾名思义就是快速的幂运算。我们在很多题目中都会遇到幂运算，但是在指数很大的时候，我们如果用for或者是pow就会超时，这时候就用到了快速幂。

快速幂的原理就是，当求b^p的时候，如果p是一个奇数，那么我们就可以把它拆成(b^2)^(p/2)*b，因此每次判断一下是直接乘还是拆开就可以了。

洛谷模板链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1226

下面是代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long b,p,k;
void ksm(){long long ans=1,a=b,bb=b,pp=p;while(p){if(p&1) ans=ans*a%k; //判断要不要拆开p>>=1; //p除以2a=a*a%k;}printf("%lld^%lld mod %lld=%lld",bb,pp,k,ans%k);
}
int main(){scanf("%lld%lld%lld",&b,&p,&k);ksm();return 0;
}

 

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矩阵快速幂

矩阵快速幂顾名思义就是把快速幂的整数换成矩阵，要学习矩阵快速幂，就要先知道矩阵的乘法规则。矩阵的乘法规则由下图所示：

注意：两个矩阵可以做乘法的条件是矩阵A的大小是N*M，矩阵B的大小是M*K，这样的两个矩阵相乘，得到矩阵C的大小是N*K。（通俗的说就是，第一个矩阵的列数等于另一个矩阵的行数）

矩阵的乘法有几个性质是很重要的，必须记住，不要搞混：①矩阵乘法满足乘法结合律 ②矩阵乘法满足乘法分配律（包括左分配律和右分配律，左分配律是：C*(A+B)=CA+CB，右分配律是：(A+B)*C=AC+BC） ③矩阵乘法不满足乘法交换律（例：AC!=CA）。

矩阵乘法的时间复杂度是O(NMK)的，下面是矩阵乘法的代码：

 

for(i=1;i<=n;++i)for(j=1;j<=m;++j)for(l=1;l<=k;++l)c[i][l]+=a[i][j]*b[j][l];

 

注意：在做矩阵乘法的时候，最好是按照我上面代码的循环顺序计算，因为如果你改变了循环顺序，速度就会变慢，如果你不相信的话可以去试一试，这是因为按照我代码的顺序，在计算一部分值之前，他的原值已经存在缓存中了，这样的话是比从内存中读取快的，而改变顺序的话，就会从内存中调用，就会变慢了。

学会了矩阵乘法，矩阵快速幂就很轻松了。因为矩阵快速幂和快速幂的区别就在于，一个是整数的次方运算，一个是矩阵的次方运算。但需要注意的是，在矩阵相乘的时候，要存在第三方数组中，这样才不会影响矩阵的值。

洛谷模板链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3390

下面是AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int M=1000;
const ll mod = 1e9+7;
ll n,k,a[M][M],b[M][M],c[M][M];
void jz(int x){register int i,j,l;if(x==1){for(i=1;i<=n;++i)for(j=1;j<=n;++j)for(l=1;l<=n;++l)c[i][l]=(c[i][l]+a[i][j]*b[j][l]%mod)%mod;for(i=1;i<=n;++i)for(j=1;j<=n;++j)b[i][j]=c[i][j];memset(c,0,sizeof c);}else{for(i=1;i<=n;++i)for(j=1;j<=n;++j)for(l=1;l<=n;++l)c[i][l]=(c[i][l]+a[i][j]*a[j][l]%mod)%mod;for(i=1;i<=n;++i)for(j=1;j<=n;++j)a[i][j]=c[i][j];memset(c,0,sizeof c); //记住每次要清空
    }
}
void ksm(){while(k){if(k & 1) jz(1);k>>=1;jz(2);}
}
int main(){register int i,j;scanf("%lld",&n);scanf("%lld",&k);for(i=1;i<=n;++i)for(j=1;j<=n;++j)scanf("%lld",&a[i][j]),b[i][j]=a[i][j];--k; //因为在上一句中，在答案中已经有了矩阵A的一次方
    ksm();for(i=1;i<=n;++i){for(j=1;j<=n;++j)printf("%lld ",b[i][j]);printf("\n");}return 0;
}

 

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快速乘法

快速乘法和快速幂的思想差不多，KSM是把a^p的p二进制分解，而快速乘法是把a*b的b分解，一般和KSM配套食用。当KSM%p会超范围的时候，也就是取模之前就会乘爆，就要用到快速乘法。快速乘法就是把乘法改成加法，这样一步一步的取模，就不会出现乘爆的问题了。

因为没有找到例题，这里直接附上代码：

typedef long long ll;
ll ksmul(ll x,ll y,int p){ //x*y%pll ans=0;while(y){if(y & 1) ans=(ans+y)%p;y>>=1;x=(x+x)%p;}return ans;
}