机器学习笔记—再谈广义线性模型

前文从线性回归和 Logistic 回归引出广义线性回归的概念，很多人还是很困惑，不知道为什么突然来个广义线性回归，有什么用？只要知道连续值预测就用线性回归、离散值预测就用 Logistic 回归不就行了？还有一些概念之间的关系也没理清，例如线性回归和高斯分布、Logistic 回归和伯努利分布、连接函数和响应函数。

这种困惑是可以理解的，前文为了引导快速入门，从实战解题的角度推出了答案，但对其背后的概率假设解释不足，虽然线性回归专门开辟一节来介绍高斯分布假设，但很多人误以为这一节的目的只是为了证明最小均方误差的合理性，Logistic 回归的伯努利分布假设也需做解释。

线性回归是建立在高斯分布的假设上，Logistic 回归是建立在伯努利分布的假设上。如果不能从概率的角度理解线性回归和 Logistic 回归，就不能升一级去理解广义线性回归，而广义线性模型就是要将其它的分布也包纳进来，提取这些分布模型的共同点，成为一个模型，这样再遇到其它分布，如多项式分布、泊松分布、伽马分布、指数分布、贝塔分布和 Dirichlet 分布等，就可以按部就班地套模型进行计算了。

有些同学不明白的是，「当给定参数 θ 和 x 时，目标值 y 也服从正态分布」，这里 y 服从的是均值为 θ^Tx 的正态分布，当我们训练得到参数 θ 后，那么对于不同的 x 值，y 服从的就是不同均值的正态分布。伯努利分布也一样。

要想掌握广义线性模型，得亲自动手做一个实例。

下面我们从概率的角度重新审视线性回归、Logistic 回归，来加深对广义线性模型的理解。

先说线性回归，假设是 y⁽ⁱ⁾|x⁽ⁱ⁾;θ~N(θ^Tx⁽ⁱ⁾,σ²)，因为 σ² 对 θ 值和 h_θ(x) 值没有影响，所以我们不妨设 σ²=1，那么

把该高斯分布写成指数分布簇的形式：

 

可得：

根据广义线性模型的假设，得：

其中 h_θ(x)=η 就是响应函数，其反函数就是连接函数。

如果我们有 m 个例子的训练集 {(x⁽ⁱ⁾,y⁽ⁱ⁾);i=1,...,m}，想要学习这个模型的参数 θ，log 似然函数为：

然后最大化该函数即可得解。

再来看 Logistic 回归，假设是给定 x 和 θ 后的 y 服从伯努利分布。

p(y;Φ)=Φ^y(1-Φ)^1-y

把该伯努利分布写成指数分布簇的形式：

可得：

根据广义线性模型的假设，得：

其中 h_θ(x)=1/(1+e^-η) 就是响应函数，其反函数就是连接函数。

如果我们有 m 个例子的训练集 {(x⁽ⁱ⁾,y⁽ⁱ⁾);i=1,...,m}，想要学习这个模型的参数 θ，log 似然函数为：

然后同样最大化该函数即可得解。

 

由此，大致可得使用广义线性模型的步骤：

1、分析数据集，确定概率分布类型；

2、把概率写成指数分布簇的形式，并找到对应的 T(y)、η、E(y;x) 等。

3、写出 log 最大似然函数，不同的分布所使用的连接函数不一样，并找到使该似然函数最大化的参数值。

 

参考资料：

1、http://cs229.stanford.edu/notes/cs229-notes1.pdf