▊ 三角形两边
定理：三角形两边的和大于第三边。
推论：三角形两边的差小于第三边。
▊ 三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
▊ 三角形的重心
三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。
▊ 与三角形有关的角
1.三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关。
2.直角三角形两个锐角的关系：直角三角形的两个锐角互余(相加为90°)。有两个角互余的三角形是直角三角形。
3.三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；三角形三个外角和为360°。
▊ 等腰三角形的性质和判定
◆ 性质
1.等腰三角形的两个底角相等(简写成"等边对等角")。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合(简写成"等腰三角形的三线合一")。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
◆ 判定
在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)。
在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称：等角对等边)
▊ 全等三角形的性质和判定
全等三角形共有5种判定方式：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。特殊情况下平移、旋转、对折也会构成全等三角形。
1.SSS(边边边)，即三边对应相等的两个三角形全等.
2.SAS(边角边)，即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等.
3.ASA(角边角)，即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等.
4.AAS(角角边)，即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等.
5.HL(斜边、直角边)，即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
注意：
1.SSS、SAS、ASA、AAS可用于任意三角形；HL只限于直角三角形.
2.SSA、AAA不能判定全等三角形.
3.在证明时注意利用定理，如：等式性质、等量代换、等角重合有等角、公共边、公共角、对顶角相等、等角或同角的余角或补角相等、角平分线定义、线段中点定义等.
4.证明全等写条件时注意书写顺序.
5.写全等结论时注意对应顶点的位置.
6.有时全等三角形会结合等腰三角形出现命题.
▊ 直角三角形的判定
判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：若a的平方+b的平方=c的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形(勾股定理的逆定理)。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互余的三角形是直角三角形。
判定5：证明直角三角形全等时可以利用HL ，两个三角形的斜边长对应相等，以及一个直角边对应相等，则两直角三角形全等。[定理：斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。简称为HL]
判定6：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则这两直线垂直。
判定7：在一个三角形中若它一边上的中线等于这条中线所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
▊ 等边三角形的判定
1.三边相等的三角形是等边三角形(定义)。
2.三个内角都相等的三角形是等边三角形。
3.有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
4. 有两个角等于60度的三角形是等边三角形。
▊ 勾股定理：
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
▊ 勾股定理的应用：
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在
中，
，则
，
，
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
▊ 勾股定理的逆定理：
如果三角形三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边.
1.勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方
作比较，若它们相等时，以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形；若
时，以a，b，c 为三边的三角形是钝角三角形；若
时，以a，b，c 为三边的三角形是锐角三角形；
2.定理中a，b，c 及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c 满足，那么以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边.
3.勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形
▊ 勾股数
1.能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，a，b，c 为正整数时，称a，b，c 为一组勾股数
2.记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等。
3.用含字母的代数式表示n组勾股数：(n为正整数)；(n为正整数)(m>n,m，n为正整数)
▊ 两点间距离公式
公式描述：
公式中(x1，y1)，(x2，y2)分别为A、B两个点的坐标。
▊ 相似三角形
◆ 简介：
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
◆ 性质：
1. 相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2. 相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。
3. 相似三角形周长的比等于相似比。
4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。
由 4 可得：相似比等于面积比的算术平方根。
5. 相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方
6. 若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中项
7. a/b=c/d等同于ad=bc.
8. 不必是在同一平面内的三角形里。
◆ 判定：
类比全等三角形的判定定理，可以得出下列结论：
定理 两角分别对应相等的两个三角形相似。
定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
定理 三边成比例的两个三角形相似。
定理 一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
根据以上判定定理，可以推出下列结论：
推论 三边对应平行的两个三角形相似。
推论 一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
◆ 推论：
推论一：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论二：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论三：如果一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
▊ 射影定理：
射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理)：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
例如：(前提：∠BAD+∠DAC=90度，AD⊥BC)
公式Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
(1)(AD)^2;=BD·DC，
(2)(AB)^2;=BD·BC，
(3)(AC)^2;=CD·BC。
等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)
◆ 一、平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在任一条(与这组平行相交的)直线上截得的线段也相等
◆ 二、平行截割定理
两条直线与一组平行线相交,它们被这组平行线截得的对应线段成比例.
◆ 三、平行截割定理推论
平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例
▊ 解直角三角形
1.概念：由直角三角形中已知的边和角，计算出未知的边和角的过程，叫做解直角三角形。
2.特殊角值
▊ 锐角三角形
sinA=a/c,
cosA=b/c,
tanA=a/b,
1.互余角的三角函数值之间的关系
若∠ A+∠ B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA
2.同角的三角函数值之间的关系
①sin²A+cos²A=1
②tanA=sinA/cosA
③tanA=1/tanB
④a/sinA=b/sinB=c/sinC
3.锐角三角函数随角度的变化规律
锐角∠A的tan值和sin值随着角度的增大而增大，cos值随着角度的增大而减小。
4.符号 sin cos tan
正弦函数sin(A)=a/c
余弦函数cos(A)=b/c
正切函数tan(A)=a/b
其中a为对边，b为邻边，c为斜边
- END-
编辑 | 李老师
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