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《精通MATLAB最优化计算（第二版）》

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Matlab 2019a

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非线性最小二乘优化问题

非线性最小二乘优化也叫无约束极小平方和函数问题，它是如下无约束极小问题：

，其中

。

例如

，则

，其中

。如果

为

的线性函数，即

，其中

为矩阵，

为向量，此时问题变为线性最小二乘问题。对于线性最小二乘问题，处理起来非常简单，其实质是

变量的二次规划问题，MATLAB中对应有lsqnonlin函数求解线性最小二乘问题。

G-N法（Gauss-Newton法）

G-N法源于无约束优化的牛顿算法，因为非线性最小二乘优化问题中的目标函数形式比较特殊，可以得到其雅可比矩阵的具体形式，将其代入牛顿法的迭代公式中，就可得到G-N法。

• 原理

根据非线性最小二乘目标函数的表达式，有

令

，根据无约束优化的牛顿算法，代入目标函数的梯度，则有

。

其中

。由于

涉及

的计算，计算量比较大，将其忽略得到求解非线性最小二乘的G-N法：

• 算法步骤

用G-N法求解非线性最小二乘优化问题

的算法过程如下：

【1】给定初始点

，及精度

，置

；

【2】计算

；

【3】计算

；

【4】计算

；

【5】解方程

；

【6】置

；

【7】检验终止原则，否则令

，转【2】。

• Matlab代码与试算

用G-N法求下面的优化问题：

。

test.m

syms 

Gauss_Newton_Method.m

function

命令行窗口

x_optimization =5.6753e-07f_optimization =2.0000

图像

如图所示，函数

有两个最小点

，由于初始点为

，所以G-N法只求出了与1最近的

。

G-N算法是一个局部收敛方法，它对初始点的依赖性很大，只有当初始点接近极小点时才有可能收敛。

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