3　数学哲学与计算机科学的能动作用

数学哲学对于计算机科学的影响主要表现于以下的事实：一些源于数学哲学(数学基础研究)的概念和理论在计算机科学的历史发展中发挥了十分重要的作用。

例如，在此可以首先提及(一阶)谓词演算理论：这是由弗雷格(G.Frege)在1879年出版的《概念语言》中首次给出的，而后者则又常常被看成数学基础研究的实际起点；然而，这一主要是为了数学的严格化(更为一般地说，即是思维的严格化)所创立的概念工具现已成为计算机科学最为重要的理论工具之一，特别是，谓词演算的一种特殊形式(the clausal form)更被证明对于人工智能(即如机器证明)的研究是特别适用的。

另外，由图林所给出的“图林机”(Turing machine)和“通用机”(universal machine)的概念则可说是一个更为典型的例子。具体地说，这两个概念是由图林在1937所发表的一篇论文中首次引进的。正如这一论文的题目——“论可计算数及其对于判定问题的应用”——所清楚地表明的，图林之所以引进这两个概念，主是为了解决希尔伯特的“可判定性问题”，而后者则就是著名的“希尔伯特规划”的一个部分，即其直接目标仍在于如何很好地去解决数学的基础问题；然而，这两个概念后来却又在计算机的历史发展中发挥了特别重要的作用，特别是，正是基于“通用机”的概念，人们才最终构造出了现代意义上计算机，即带有内存(程序)的计算机——由于后者较好地解决了早一代计算机(即如美国在1946年所建造的第一台电子计算机ENIAC)所存在的“计算”快、但却需要花费大量时间和精力来编制相应的程序的弊病，因此，这确实代表了一次真正的进步。

最后，我们在此还可提及罗素的“类型论”。如众所知，罗素之所以提出“类型论”，其直接起因是为了能够很好地解决悖论的问题，罗素并以此为基础而提出了关于逻辑主义的一个新的纲领，即是如何以逻辑为基础去开展出全部数学，同时则又可以避免悖论的威胁。令人吃惊的是，这一完全源于数学的哲学思考的概念现也被证明对于计算机科学是十分重要的，因为，计算机的程序语言通常是分类的。这也就是说，为了避免混乱，在给出一个函数时，我们应当具体地去指明其中所包含的变量的类型。显然，这事实上就是类型论的基本思想。

如果说源自数学哲学的概念和理论曾对计算机科学的发展产生了十分重要的影响；那么，就如前述“能动作用”的模式所表明的，数学哲学与计算机科学的主次关系现在似乎也已发展到了一个转折点，即计算机科学现正反过来对数学哲学的现代研究发挥着实质性的影响。

具体地说，就计算机科学对数学哲学的影响而言，机器证明可以说起着最为重要的作用，而也正是在这样的意义上，四色定理的机器证明(1977)就可被看成上述主次关系转变的实际转折点。因为，在人类的历史上，这真是破天荒的一个事件，即是一个重要的数学定理由于使用计算机而得到了证明，而且，后者在其中所发挥的作用是不可或缺的(计算机在此被用于对各种特殊情况的检验，由于后者的数量如此之多，相应的检验又是如此之繁琐，因此，如果不使用计算机，所说的检验过程就不可能得以完成)。但是，人们又不禁要问：这种借助于计算机的证明能否算是一个真正的证明？这样，计算机科学的发展就直接导致了如下的哲学思考：什么是“数学证明”？或者说，究竟什么是“数学证明”的本质？

自1977年以来，已经有二十多个年头过去了；但是，上述的问题却象一个幽灵一直缠绕在数学家和数学哲学家的心头，因为，计算机在数学中的应用现已不再是一个偶见的现象，而且，这种应用的性质也已发生了十分重要的变化：如果说在四色定理的证明中计算机只是充当了某种较为次要的角色，即只是具体地去实施某些细节性工作，而主要的证明思想仍然是由人类所事先设计好的，那么，一些现代的证明机器(即如由Larry Wos所设计的)就不仅可以对一些已知的定理设计出某些新的、也即从来没有为人们所想到过的证明，而且已成功地证明了某些人们所一直没有能够证明的重要的数学结论。

事实上，从更为广泛的意义上来说，计算机可被认为正在改变数学的性质，因为，计算机不仅为数学研究提供了新的研究工具(应当明确，所说的工具作用不只限于计算和逻辑演算，而且也包括其它的功能，如图象显示等)，而且也直接导致了数学研究方向或重点的转移(例如，由于计算机的使用使得大量过去无法实现的计算成为可能，这就不仅使一些传统的研究问题得以复活，而且还直接导致了一些新的研究分支，如“计算数论”、“计算几何学”等，另外，也有一些概念和理论由于计算机的使用变得特别重要，即如算法的概念和离散数学等)。再者，计算机的使用并导致了数学观的重要变化，即如人们对什么是数学问题的“满意解答”的看法等。从而，总的来说，计算机正在改变整个数学(包括数学活动)的面貌，而这当然也会引起相应的哲学思考：什么是数学？或者说，究竟什么是数学的本质？

在笔者看来，以下的事实也许最为清楚地表明了这种由于计算机所导致的变化的深刻性和重要性：一些自称为“实验数学家”的新潮数学家现正试图创立一种新的作数学的方法，即主要通过计算机实验去作出新的发现。由于所说的方法是与传统的作法很不一致的：“传统数学家设想证明，实验数学家设计实验；传统数学家用手进行繁复的计算，实验数学家把例行的计算交给计算机去快速地完成；传统数学家所作的例行推导和证明许多也可以交给计算机完成”——因此，在这些数学家看来，计算机正在改变数学的性质：数学正在成为一门“实验科学”。[18]

综上可见，计算机科学的发展正在对数学哲学的现代研究发挥十分重要的影响，而且，可以相信，随着时间的推移，这种影响的程度将会不断得到加强。从而，总的来说，我们在此看到了关于“能动作用”再这一发展模式的又一实例。

4　结束语

卡尔纳普(R.Carnap)在其《思想自述》中曾经这样写道：“倘若有谁对那种依据传统的学术界线划分而属于不同的学科领域之间的关系感兴趣，那么，他肯定不会如他自己所期待的那样，被当作学科之间的桥梁建造者而受到欢迎，相反，他将被双方同时视作局外人和令人生厌的入侵者。”([9].p.11)由于以上的讨论显然即已表明这种态度是错误的(事实上，卡尔纳普本人的工作也已清楚地表明了“交叉研究”的积极意义)，因此，现在确是改变这种态度的时候了

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