题目

对于给定的整数 n, 如果n的k（k>=2）进制数的所有数位全为1，则称 k（k>=2）是 n 的一个好进制。

以字符串的形式给出 n, 以字符串的形式返回 n 的最小好进制。

• 示例 1：

输入：“13”
输出：“3”
解释：13 的 3 进制是 111。

• 示例 2：

输入：“4681”
输出：“8”
解释：4681 的 8 进制是 11111。

• 示例 3：

输入：“1000000000000000000”
输出：“999999999999999999”
解释：1000000000000000000 的 999999999999999999 进制是 11。

提示：

• n的取值范围是 [3, 10^18]。
• 输入总是有效且没有前导 0。

等比数列求和

如果n的k（k>=2）进制数的所有数位全为1，那么可以表示为一个等比数列相加

因此根据等比数列求和公式可得

变形得：

因为n的取值范围是 [3, 10^18]并且k>=2,根据log函数的单调性可得:m<60

二项式定理

根据二项式定理可得

又因为

二式结合可得

最终可求得k

解题思路

1. 根据等比数列求和，我们可以快速得到m的最大值，从而缩小我们的搜索范围

2. 根据上一步得出的m的取值范围进行遍历，通过二项式定理得出的结论

可以求出k值，再检验当前k值能否组成n

代码

class Solution {public String smallestGoodBase(String n) {long num = Long.parseLong(n);int maxL = (int) Math.floor(Math.log(num) / Math.log(2));for (int m=maxL;m>1;m--){int k = (int) Math.pow(num, 1.0 / m);long cur=1,pow=1;for(int i=0;i<m;i++){pow*=k;cur+=pow;}if(cur==num)return String.valueOf(k);}return String.valueOf(num-1);}
}