流形

一个m维流形是满足以下条件的集合M：存在可数多个称为坐标卡（图集）的子集合族.以及映到的连通开子集上的一对一映射，,称为局部坐标映射，满足以下条件
- 坐标卡覆盖M
- 若 $U_\alpha \bigcap U_\beta \neq \phi,$ 则 $\varphi_\beta\cdot\varphi_\alpha^{-1}:\varphi_{\alpha}(U_\alpha \bigcap U_\beta)\rightarrow \varphi_{\beta}(U_\alpha \bigcap U_\beta)$ 是光滑函数（无限可导）
- Hausdorff 分离性质：若 $x\in U_\alpha,\bar{x}\in U_\beta$ 是M中的两个不同点，则存在开子集 $W\subset V_\alpha,\bar{W}\subset V_\beta,\varphi_\alpha(x)\in V_\alpha,\varphi_\beta(\bar{x})\in V_\beta$ 使得 $\varphi_\alpha^{-1}(W)\bigcap \varphi_\beta^{-1}(\bar{W})=\phi$

设M 和 N是两个光滑流形， $F:M\rightarrow N$ 是一个映射，如果 $F$ 在每个坐标卡上的局部坐标表示都是光滑的，则称 $F$ 是光滑映射，即对M上的每个坐标卡 $\varphi_\alpha:U_\alpha \rightarrow V_\alpha \subset R^m$ 和 N 上的每个坐标卡 $\bar{\varphi}_\beta:\bar{U}_\beta\rightarrow \bar{V}_\beta \subset R^n$ ，复合映射 $\bar{\varphi}_\beta\cdot F\cdot \varphi_\alpha^{-1}:R^m\rightarrow R^n$ 在 $\varphi_\alpha[U_\alpha\bigcap F^{-1}(\bar{\varphi}_\beta)]$ 上是光滑的

$F:M\rightarrow N$ 是从m维流形到n维流形的光滑映射，F在 $x\in M$ 的秩就是n \times m Jacobi矩阵在x的秩。如果对于子集S \subsset M 中的每点，F 的秩都等于m 和 n中最小者，则称F 在S上有最大值

设M是光滑流形，N是M的子集，如果存在流形\bar{N} 和光滑流形一一映射，处处满足最大秩条件，则称N 是 M的子流形，\bar{N}叫做参数空间，并且
- 映射 $N=\varphi(\bar{N})$ 称为 immersion
- N 叫做侵入子流形

regular 子流形

若群G具有r位光滑流形结构，使得群运算 $m:G\times G\rightarrow G,m(g,h)=g\cdot h,\,\,\,g,h\in G$ 和逆元运算 $i:G\rightarrow G,i(g)=g^{-1},g\in G$ 是流形间的光滑映射，则称G是r参数Lie 群
Lie 群：具有光滑的流形结构的群