1.3求根之牛顿迭代法

目录
前言
（一）牛顿迭代法的分析
- 1.定义
- 2.条件
- 3.思想
- 4.误差
（二）代码实现
- 1.算法流程图
- 2.源代码
（三）案例演示
- 1.求解：$f(x)=x^3-x-1=0$
- 2.求解：$f(x)=x^2-115=0$
- 3.求解：$f(x)=x^3-x^2-x+1$
- 4.求解：$f(x)=x^4-4x^2+4=0$

前言

今天我们讲的是具有收敛速度快，能求重根的解方程之法，牛顿迭代法。

（一）牛顿迭代法的分析

1.定义

迭代公式如下：
\[ x_{k+1} = x_k-\frac{f(x_k)}{f\prime(x_k)} (k=0,1,2...) \]
迭代函数是：
\[ \varphi(x) = x_k-\frac{f(x_k)}{f\prime(x_k)} \]
由于$ \varphi(x)= x_k-\frac{f(x_k)}{f\prime(x_k)}$ 与原方程$f(x)=0$ 等价。

当$k\rightarrow \infty$ 时，$x_k$就是$f(x)=0$的近似解。

该方法称为牛顿迭代方法。

2.条件

f(x)函数是连续可导函数。
f(x)在局部收敛，当$f(x) \times f\prime\prime(x)>0$时，局部收敛。

注意：牛顿迭代法的局部收敛性，很依赖于初始值的取法。

也就是说，初始值的选取，决定该区域的收敛性。

3.思想

其总思想还是迭代的方法，只是其迭代公式是由泰勒展开得来的，其利用的是：用切线方程与x轴的交点来近似f(x)与x轴的交点。

4.误差

任然用的是迭代法的误差，前后两次x的差的绝对值与我们给的精度比较。

（二）代码实现

1.算法流程图

牛顿迭代法.jpg

2.源代码

feval()函数

def feval(string, a):"""根据值来计算数学表达式。:param string: 含有x未知数的数学表达式:param a: 自变量x的具体数值:return:  数学表达式的计算结果"""count = string.count("x")string = string.replace('x', '%f')t = (a, ) * countresult = eval(string % t)return result

float_num()函数

def flaot_num(x, r):"""处理保留几位小数点的函数,四舍五入法:param x: 原始数据:param r: 误差:return: 处理后的数据"""# 处理小数点的位数r = str(r)if "." in r:dian = r.index(".")size = len(r[dian + 1:])result = round(x, size)return resultelif "e" in r:dian = r.index("e")size = int(r[dian+2:])result = round(x, size)return resultelse:result = round(x, 0)return result

牛顿迭代法

"""牛顿迭代法，迭代的思想，不断逼近。
"""
# 求导数需要的库
import sympy as sp
from my_math.func_math import feval, flaot_numdef new_fun(expr, x0, r):"""牛顿迭代法求解方程的根:param expr: 代函数表达式:param x0: 初始值:param r: 误差:return: 计算的结果值"""x = sp.Symbol('x')k = 0# 一阶导与二阶导fx_1 = str(sp.diff(expr))fx_2 = str(sp.diff(fx_1))# 迭代公式y = "x-" + "("+expr + ")/(" + fx_1 + ")"# 判断收敛性if feval(expr, x0)*feval(fx_2, x0) <= 0:print("函数处于该点区域不收敛")result = Noneelse:x1 = feval(y, x0)x2 = feval(y, x1)while abs(x2-x1) > r:x1 = feval(y, x2)x2 = feval(y, x1)k += 1print("次数：", k)print("x1:", x1)print("x2:", x2)result = flaot_num(x2, r)print("=" * 30)print("原始的数据是", x2)print("最后的结果是：", result)return resultif __name__ == '__main__':new_fun("x**4-4*x**2+4", 2, 10**-5)