目录
- 目录
- 前言
- （一）牛顿迭代法的分析
- 1.定义
- 2.条件
- 3.思想
- 4.误差
- （二）代码实现
- 1.算法流程图
- 2.源代码
- （三）案例演示
- 1.求解：\(f(x)=x^3-x-1=0\)
- 2.求解：\(f(x)=x^2-115=0\)
- 3.求解：\(f(x)=x^3-x^2-x+1\)
- 4.求解：\(f(x)=x^4-4x^2+4=0\)
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前言
今天我们讲的是具有收敛速度快，能求重根的解方程之法，牛顿迭代法。
（一）牛顿迭代法的分析
1.定义
迭代公式如下：
\[ x_{k+1} = x_k-\frac{f(x_k)}{f\prime(x_k)} (k=0,1,2...) \]
迭代函数是：
\[ \varphi(x) = x_k-\frac{f(x_k)}{f\prime(x_k)} \]
由于$ \varphi(x)= x_k-\frac{f(x_k)}{f\prime(x_k)}$ 与原方程\(f(x)=0\) 等价。
当\(k\rightarrow \infty\) 时，\(x_k\)就是\(f(x)=0\)的近似解。
该方法称为牛顿迭代方法。
2.条件
f(x)函数是连续可导函数。
f(x)在局部收敛，当\(f(x) \times f\prime\prime(x)>0\)时，局部收敛。
注意：牛顿迭代法的局部收敛性，很依赖于初始值的取法。
也就是说，初始值的选取，决定该区域的收敛性。
3.思想
其总思想还是迭代的方法，只是其迭代公式是由泰勒展开得来的，其利用的是：用切线方程与x轴的交点来近似f(x)与x轴的交点。
4.误差
任然用的是迭代法的误差，前后两次x的差的绝对值与我们给的精度比较。
（二）代码实现
1.算法流程图
2.源代码
feval()函数
def feval(string, a):"""根据值来计算数学表达式。:param string: 含有x未知数的数学表达式:param a: 自变量x的具体数值:return: 数学表达式的计算结果"""count = string.count("x")string = string.replace('x', '%f')t = (a, ) * countresult = eval(string % t)return resultfloat_num()函数
def flaot_num(x, r):"""处理保留几位小数点的函数,四舍五入法:param x: 原始数据:param r: 误差:return: 处理后的数据"""# 处理小数点的位数r = str(r)if "." in r:dian = r.index(".")size = len(r[dian + 1:])result = round(x, size)return resultelif "e" in r:dian = r.index("e")size = int(r[dian+2:])result = round(x, size)return resultelse:result = round(x, 0)return result牛顿迭代法
"""牛顿迭代法，迭代的思想，不断逼近。
"""
# 求导数需要的库
import sympy as sp
from my_math.func_math import feval, flaot_numdef new_fun(expr, x0, r):"""牛顿迭代法求解方程的根:param expr: 代函数表达式:param x0: 初始值:param r: 误差:return: 计算的结果值"""x = sp.Symbol('x')k = 0# 一阶导与二阶导fx_1 = str(sp.diff(expr))fx_2 = str(sp.diff(fx_1))# 迭代公式y = "x-" + "("+expr + ")/(" + fx_1 + ")"# 判断收敛性if feval(expr, x0)*feval(fx_2, x0) <= 0:print("函数处于该点区域不收敛")result = Noneelse:x1 = feval(y, x0)x2 = feval(y, x1)while abs(x2-x1) > r:x1 = feval(y, x2)x2 = feval(y, x1)k += 1print("次数：", k)print("x1:", x1)print("x2:", x2)result = flaot_num(x2, r)print("=" * 30)print("原始的数据是", x2)print("最后的结果是：", result)return resultif __name__ == '__main__':new_fun("x**4-4*x**2+4", 2, 10**-5)（三）案例演示
1.求解：\(f(x)=x^3-x-1=0\)
误差：10^-5
图像分析（来确定初值）
取在1.5为初始值
运行结果：
2.求解：\(f(x)=x^2-115=0\)
误差：10^-5
图像分析（来确定初值）
取11为初始值。
运行结果：
3.求解：\(f(x)=x^3-x^2-x+1\)
误差：10^-5
图像分析（来确定初值）
取初始值为：1.6
运行结果：
4.求解：\(f(x)=x^4-4x^2+4=0\)
图像分析（来确定初值）
取初值是：0
运行结果：
我们换另一个点试试，取初始值为2
运行结果：
