数学笔记2

数学笔记2——导数2(求导法则和高阶导数)

和、差、积、商求导法则

  设u=u(x),v=v(x)都可导,则:

  1. (Cu)’ = Cu’, C是常数
  2. (u ± v)’ = u’ ± v’
  3. (uv)’ = u’ + v’
  4. (u/v)’ = (u’v – uv’) / v2

  1、2不解释,下面给出3、4的推导过程

乘法法则的推导过

 

  乘法法则可扩展:

除法法则的推导过程

示例1:f'(1/x)

  根据除法法则:

示例2:f'(x-n)

  根据除法法则:

  上式结果也可直接根据幂函数求导法则得出,幂函数f(x) = Xn的导数:f’(x) = nxn-1

示例3:(secx)’

链式求导法则

  链式求导法则也称为复合函数求导法则。若u=g(x)在x点可导,y=f(u)在u=g(x)点可导,则y=f(g(x))在x点可导,其导数是:

  第二种写法看起来更好理解。

示例1:y=(sinx)10求导

  这是一个典型的符合函数,内部函数是u=sinx,外部函数是y=u10,根据公式:

示例2:sin(10x)求导

高阶导数

  高阶导数实际上是对导数求导,也就是不断求导。

  二阶导数表示为(u’)’=u’’;三阶导数u’’’;四阶导数不能再用撇号表示了,需要使用上标u(4);n阶导数u(n)。在训练集中,上标也被表示为第几组训练集,在此我们看到,数学中的符号经常会被重用,在不同上下文中有不同的含义。

  sinx的二阶导数:(sinx)’’=(cosx)’=-sinx

  高阶导数也有不同的表示法,以三阶导数为例:

  看起来越来越乱了-_-|||

幂函数的高阶导数

D1xn = nxn-1

D2xn = ( D1xn)’= (nxn-1)’=n(xn-1)’=n(n-1)(x n-2)

D3x= (D2xn)’ = n(n-1)(n-2)(xn-3)

……

Dn-1xn = n(n-1)(n-2)(n-3)…(2)x1

Dnxn = n(n-1)(n-2)(n-3)…(2)(1)x0 = n!

Dn+1xn = (n!)’ = 0

 

高阶导数的意义

  几何意义比较容易理解,一阶导数是切线的斜率,二阶是斜率的变化率,三阶是斜率的变化率的变化率……阶数越高,刻画的变化越精细。

  物理意义是百度来的,用时间、距离、速度举例:

  位移相对于时间的一阶导数是速度,二阶导数是加速度,三阶导数是急动度(加速度的的变化率),四阶导数是什么痉挛度(不知道是不是瞎编出来的,从这开始就理解不了了)……当一辆小车尾部遭受撞击时,加速度会突然改变,小车具有急动度。汽车工程师用急动度作为评判乘客不舒适程度的指标;按照这一指标,具有恒定加速度和零急动度的人体感觉最舒适。在竞技举重中,举重运动员进行所有将杠铃举过头顶的动作时都有急动度。当轮船到达溪谷,突然减速时,轮船有急动度,因为轮船加速度的大小和方向都要改变。

总结

  1.函数的和、差、积、商求导法则

  1)         (Cu)’ = Cu’, C是常数

  2)         (u ± v)’ = u’ ± v’

  3)         (uv)’ = u’ + v’

  4)         (u/v)’ = (u’v – uv’) / v2

  2.链式求导法则(复合函数求导法则)

 

  3.高阶导数

  对导数求导,u’’,u’’’,u(4)

  Dnxn = n!

  Dn+1xn = 0

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