1. 计算机神经网络与神经元

要理解神经网络中的梯度下降算法，首先我们必须清楚神经元的定义。如下图所示，每一个神经元可以由关系式$y=f({\sum }_{i=1}^n{w}_i{x}_i+b)$来描述，其中$X=[x_1,x_2,...,x_n]$就是N维的输入信号，$W=[w_1,w_2,...,w_n]$是与输入向量一一对应的n维权重，$b$ bias 偏斜，$y$对应该神经元的输出，$f$函数称为激励函数，例如sigmoid函数，softmax函数等等。

那么一个神经网络是如何进行学习的呢？以一个神经元为例，在一组输入信号$X$经过该神经元后，我们得到了一个输出信号称之为$y_{etoile}$，而训练集中给出的实际输出例如为$y$，那么显而易见地，想要提高正确率，即正确地学习对于一组输入应该获得的输出$y$，一个神经元所做的计算，就是一个最优化(最小化)问题，通过改变权重$W$来最小化损失(误差) $l(y,y_{etoile})$。当然，这个误差的定义可以根据问题的不同有所区别，例如简单的向量L1，L2距离，MSE均方误差。对于整个训练集而言，当然不止包含了一组输入输出。因此整体而言，误差Loss Function $L(W)=\frac{1}{N}{\sum }_{t=1}^{K}l(y_t,y_{t_{etoile}})$ 是所有K组训练数据误差的总和的平均数。

我们已经知道了，Loss Function损失函数与神经元的权重息息相关，神经元要做的计算，就是找到能最小化该损失函数的权重$W$。优化的算法纷繁多样，使用的较为广泛的就是梯度下降$gradientdescent$ 及其衍生算法SGD随机梯度下降，BGD批量梯度下降。

2. 梯度下降算法 $gradientdescent$

梯度下降算法，一言以蔽之，就是沿着梯度下降的方向不断迭代，最终逼近函数最小值的优化方法。如下图所示，在最小化Loss Function损失函数的过程中，权重总是沿着损失函数梯度下降的方向变化，即$w_i=w_i-\lambda \nabla L{|}_{w_i}$，其中$\lambda$为学习率。当损失函数的梯度接近0时，可以终止迭代。大致理解了梯度下降算法的原理，接下我们看看在优化神经元的过程中，梯度下降算法是如何实现的。

3. backpropagation 反向传播算法

通过上一个部分，我们理解了使权重沿着Loss的梯度下降方向迭代，可以最终最小化损失函数。这个过程中，权重的更新$w_i=w_i-\lambda \nabla L{|}_{w_i}$取决于损失函数的梯度。计算该梯度的最常用方法，就是反向传播算法。反向传播算法其实际原理类似于复合函数导数。我们通过链式法则，可以将所需求的梯度分割成子变量的梯度的乘积。
以单个神经元的神经网络的优化为例:
$y_{etoile}=f({\sum }_{i=1}^n{w}_i{x}_i+b)$

$e_i=w_i{x}_i$,

$v={\sum }_i{e}_i+\theta$

默认使用sigmoid激励函数:

$y_{etoile}=\sigma (v)$ 经过激励函数后的输出

$\sigma (v)=\frac{1}{1+e^{-v}}$ sigmoid函数

$ϵ=y_{etoile}-y$ $y_{etoile}$与实际值$y$的误差

$L={ϵ}^2$

使用链式法则我们不难得到 :
$$\frac{\partial L}{\partial w_i}=\frac{\partial L}{\partial e_i}\frac{\partial e_i}{\partial w_i}where\frac{\partial e_i}{\partial w_i}=x_i$$

$$\frac{\partial L}{\partial e_i}=\frac{\partial L}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial e_i}where\frac{\partial v}{\partial e_i}=1$$

$$\frac{\partial L}{\partial v}=\frac{\partial L}{\partial y_{etoile}}\frac{\partial y_{etoile}}{\partial v}where\frac{\partial y_{etoile}}{\partial v}={\sigma }^{\prime }(v)=\frac{e^{-v}}{(1+e^{-v}{)}^2}$$

$$\frac{\partial L}{\partial y_{etoile}}=\frac{\partial L}{\partial ϵ}\frac{\partial ϵ}{\partial y_{etoile}}where\frac{\partial ϵ}{\partial y_{etoile}}=1$$

最后，$$\frac{\partial L}{\partial ϵ}=2ϵ$$

通过链式法则，我们将复杂的复合函数的梯度拆解为一个个基础的梯度，他们的乘积就是我们需要的损失函数Loss Function关于权重的梯度:
$$\nabla L{|}_{w_i}=2(ϵ){\sigma }^{\prime }(v)x_i$$

首先对于每个训练集中的数据$X$，以及对应的当前权重$W$，我们首先通过正向传播，计算出各个关键值并储存在内存中。

如下所示，通过正向传播以及各个变量之间的数值关系，我们可以很简单地计算出每次迭代各个变量对应的值。

接着就是反向传播计算梯度的过程了，如下图所示，例如我们有$$\frac{\partial L}{\partial ϵ}=2ϵ=-1.37\ast 2=-2.75$$
又有
$$\frac{\partial ϵ}{\partial y_{etoile}}=1$$
因此
$$\frac{\partial L}{\partial y_{etoile}}=\frac{\partial L}{\partial ϵ}\frac{\partial ϵ}{\partial y_{etoile}}=-2.75$$

…
依此类推，我们不难通过链式法则，一步一步反向传播，直到计算出我们最终需求的梯度值: $$\frac{\partial L}{\partial w_i}$$
理解了梯度下降算法在训练神经元过程中的应用，以及反向传播算法如何计算出复合梯度的过程，接下来分享一个Tensorflow模块中非常好用的计算梯度的类，这大大简化了我们计算反向传播的过程。

4. Tensorflow GradientTape

用几个简单的例子介绍一下功能强大的GradientTape类，可以帮助我们在深度学习中简便地计算函数的梯度。

import tensorflow as tf
with tf.GradientTape(watch_accessed_variables=True) as t:x = tf.Variable(3.0)y = x ** 2# t.watch(x)dy_dx = t.gradient(y,x)print(type(dy_dx))print(dy_dx.numpy())print(dy_dx)

上述代码计算了 $y=x^2$这个函数在$x=$
输出结果如下 :

Tensorflow库中的GradientTape类使用简单，其中输入输出都推荐定义为张量tensor的形式，即可训练的变量形式。GradientTape类中的watch_accessed_variables参数决定了类是否会自动观测保存可训练的变量，当这个参数值为False时，我们可以使用 t.watch()方法指定类观察的具体变量。

如下例子，调用t.gradient()方法时，变量也可以是高维的tensor。

w = tf.Variable(tf.random.normal((3,2)),name='w')
b = tf.Variable(tf.zeros(2,dtype=tf.float32),name='b')
x = [[1.,2.,3.]]with tf.GradientTape() as tape:y = x @ w + bloss = tf.reduce_mean(y**2)# 可以用张量的形式同时计算多个变量tensor对应的梯度[dl_dw, dl_db] = tape.gradient(loss,[w,b])print(dl_dw)print(dl_db)

输出结果如下:

以我们在上一部分做的反向传播算法为例 :

with tf.GradientTape() as tape:W = tf.Variable([[-1.,-1.5]])X = tf.Variable([[-3.],[2.]])thelta = tf.Variable(0.5,dtype=tf.float32)y_etoile = tf.sigmoid(W @ X + thelta)y = tf.Variable(2,dtype=tf.float32)loss = (y_etoile - y) ** 2(dl_dx, dl_dw, dl_dthe) = tape.gradient(loss,[X,W,thelta])print(dl_dw)

输出结果如下:

可以看到，我们使用tensorflow计算出的梯度$\frac{\partial L}{\partial w_i}$与使用反向传播算法的计算结果是一致的。