• 炮兵问题的优化，设立逻辑数组

蛮力法设计思想

有策略地穷举 + 验证

• 制定穷举策略
• 避免重复

简单来说，就是列举问题所有可能的解，然后去看看是否满足题目要求，是一种逆向解题方式。（我也不知道答案是什么，但是我知道答案肯定在这些范围里面，我一个个试就完了。）

所以我们应该做的是

• 知道可能的答案都有哪些
• 使用方法将其一一列举
• 将每个解依次与条件比照

蛮力法使用范围

• 所有解空间：例如a,b,c取值范围都是 0~9，问abc组成的三位数的所有情况
• 所有路径：遍历图、遍历树

蛮力法的格式

蛮力法由循环和选择语句构成

• 使用循环，穷举所有情况
• 使用选择，判断当前情况是否成立
  • 若成立，则得到问题的解
  • 若不成立，则继续循环

循环 + 分支

for(){for(){// 获取X所有可能的情况if(X满足条件){printf("X");}}
}

蛮力法思想：穷举所有情况，找到符合条件的。

这也意味着，得能够穷举，因此问题规模不能太大。

示例1：求完全数

思想：穷举所有数字，将符合条件的找出来。

关键点：求数字的所有因子。
对于数x，因子y，需要x % y = 0，此处y也需要尝试1 ~ x-1的所有数。

判断因子和是否等于x。

因此程序为

// 求完全数
#include <iostream>
using namespace std;int main() {for (int i = 2; i <= 1000; i++) {int sum = 0;for (int j = 1; j <= i - 1; j++) {if (i % j == 0) { // 若是因子sum += j;}}if (sum == i) {cout << "完全数：" << i << endl;}}return 0;
}

这里还有点bug，是数学知识不完备，因子在1 ~ m/2的范围，因子不可能比原数字的一半还要大（除了它本身），我们循环地太多了。内循环应该是j <= i/2。

结果为：

我们需要非常清晰地体会到构建程序框架的思维过程。

int main() {// 穷举所有情况for (int i = 2; i <= 1000; i++) {// 求因子之和// 比较因子与该数是否相等}return 0;
}

然后，我们再实现其细节。

充分体会：穷举情况，再依次判断的计算过程。

示例2：求水仙花数

在数字100~999中，求水仙花数，例如：1³ + 5³+ 3³ = 153。

同样地，穷举 + 验证。

关键点：求一个三位数的每一位的数。

先建立思维框架

// 穷举100~999的所有数字
for(){// 求三位数的每一位数，将其立方和相加// 判断数字与其立方和是否相等}

代码为：

// 求水仙花数
#include <iostream>
using namespace std;int main() {for (int i = 100; i <= 999; i++) {int sum = 0;int temp = i;while (temp){int x = temp % 10;sum += (x*x*x);temp /= 10;}if (i == sum) {cout << "水仙花数：" << i << endl;}}return 0;
}

答案为：

再强调一遍

• 循环 + 选择
• 先构建思维框架，再填充细节

示例3：象棋算式

我们先将问题的输入找到：也就是5个变量，且满足

• 每个变量范围是0~9
• 5个变量各不相同

然后穷举所有的可能性，看是否能够满足表达式，这是恐怖的5层循环，但是问题规模还在可接受范围内。

我们试试看。

• 兵：a
• 炮：b
• 马：c
• 卒：d
• 车：e

#include <iostream>
using namespace std;int main() {int a, b, c, d, e;for (a = 0; a <= 9; a++) {for (b = 0; b <= 9; b++) {for (c = 0; c <= 9; c++) {for (d = 0; d <= 9; d++) {for (e = 0; e <= 9; e++) {// 若5个数都不同，再看是否满足表达式if (!(a == b || a == c || a == d || a == e|| b == c || b == d || b == e|| c == d || c == e|| d == e)) {int add1 = a * 1000 + b * 100 + c * 10 + d;int add2 = a * 1000 + b * 100 + e * 10 + d;int sum = e * 10000 + d * 1000 + c * 100 + a * 10 + d;if (sum == add1 + add2) {cout << "兵 = " << a << " 炮 = " << b << " 马 = " << c << " 卒 = " << d << " 车 = " << e << endl;}}}}}}}return 0;
}

结果是

不过显然，太低效率了，如果有n的话，这个算法的时间复杂度是O(n⁵)，这几乎是不可接受的，太暴力了，问题规模显得有点大，是10⁵了。

所以，我们虽然遵循了 循环 + 选择，但是，穷举地过于直接，看看有没有其他办法呢？

思想：即便是穷举，也要“聪明地”穷举

同样是穷举，也有不同的方法，最粗暴的就是循环，一层循环不行就嵌套多重循环……好蠢但是很简单好想。

我们来看看，同样是穷举，不同做法的差异。

示例

对于一个含有6个元素的一维数组，该数组每个数只能是0或1，将所有情况穷举出来。
例如(0,0,0,0,0,0)、(0,1,0,1,1,0)

最愚蠢的做法，直接6重循环。

#include <iostream>
using namespace std;int main() {int a, b, c, d, e, f;int number[6];for (a = 0; a <= 1; a++) {for (b = 0; b <= 1; b++) {for (c = 0; c <= 1; c++) {for (d = 0; d <= 1; d++) {for (e = 0; e <= 1; e++) {for (f = 0; f <= 1; f++) {number[0] = a;number[1] = b;number[2] = c;number[3] = d;number[4] = e;number[5] = f;for (int i = 0; i < 6; i++) {cout << number[i] << "  ";}cout << endl;}}}}}}return 0;
}

结果：
这的确可以完成任务，但是这样的算法真的很糟糕，不是吗？

我们来看看优化后的穷举的方法：

我们将其与二进制结合，因为对于这样的0、1序列，与二进制有直接联系，我们直接将十进制是0~63，转换为二进制，存入数组中，就可以了，这样大大降低了时间复杂度！

#include <iostream>
using namespace std;int main() {int number[6];for (int i = 0; i <= 63; i++) {// 转换为二进制，除二求余再倒置int temp = i;for (int j = 5; j >= 0; j--) {number[j] = temp % 2;temp /= 2;}// 输出结果for (int k = 0; k < 6; k++) {cout << number[k] << "  ";}cout << endl;}return 0;
}

穷举加验证，循环加选择，蛮力解难题

穷举有方法，验证有策略，循环尽量浅，选择看题目

我们之前谈过，穷举法，需要能够穷举，数据规模不太大，现在，我们在此基础上进行了优化，同样能够穷举的，穷举方式的选择也很重要。

对于循环，我们希望尽可能减少嵌套层数。

当然了，简单的属于通用普适技法，稍难的就需要动用你的观察力，但是这些东西你熟悉了，也就变成了简单的了。

接下来我们尝试优化示例3。

示例3优化

我们只关注，如何进行穷举，并且尽可能减小穷举规模空间，关注一个条件：5个数各不相同。

这样一来，我们的问题规模就由10⁵ = 10,000 变成了 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30,240 ，变成了原来的30%左右。

可以用多重循环来列举出它们各种不同的取值情况，逐一地判断它们是否满足上述等式；为了避免同一数字被重复使用，可设立逻辑数组x，x[i]（0≤i≤9）值为1时表示数i没有被使用，为0时表示数i已被使用。

int main() {int x[10];int a, b, c, d, e, i, m, n, s;for (i = 0; i <= 9; i++) x[i] = 1;   /*x数组置初值*/for (a = 1; a <= 9; a++){x[a] = 0; /*表示不能再让其他变量取与a相同的值*/for (b = 0; b <= 9; b++)if (x[b])  /*如果b取的当前值未被其他的变量重复*/{x[b] = 0; /*表示不能再让其他变量取与b相同的值*/for (c = 0; c <= 9; c++)if (x[c])   /*如果c取的当前值未被其他的变量重复*/{x[c] = 0;  /*表示不能再让其他变量取与c相同的值*/for (d = 0; d <= 9; d++)if (x[d])    /*如果d取的当前值未被其他的变量重复*/{x[d] = 0;   /*表示不能再让其他变量取与d相同的值*/for (e = 0; e <= 9; e++)if (x[e]){m = a * 1000 + b * 100 + c * 10 + d;n = a * 1000 + b * 100 + e * 10 + d;s = e * 10000 + d * 1000 + c * 100 + a * 10 + d;if (m + n == s)printf("兵:%d 炮:%d 马:%d 卒:%d车:%d\n",a, b, c, d, e);}x[d] = 1;  /*本次循环未找到解,让d取其他值*/}x[c] = 1;  /*本次循环未找到解,让c取其他值*/}x[b] = 1;     /*本次循环未找到解,让b取其他值*/}x[a] = 1;  /*本次循环未找到解,让a取其他值*/}return 0;
}

重要的收获：穷举有方法，不能上来题都不看就开始举，有条件地穷举，减少解空间，对于本题，5个数不同，可以当作题目条件来验证，也可以当成穷举的约束条件。

同样的条件，不同的看法，就会产生不同的解决方案。

还记得离散数学中的附加条件证明法吗，将结论中的前提当条件用，再推出最终结论，极大简化了运算。

百元买百鸡问题

已知公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡1元三只，用100元买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？

1. 知道解空间
   • 公鸡：x 0~20
   • 母鸡：y 0~33
   • 小鸡：z 0~100
2. 如何列举
   • 最简单思路：三重循环
3. 如何验证
   1. x + y + z = 100
   2. 5x + 3y + z/3 = 100
   3. z % 3 == 0
   4. 这样看来，可以将z变量去掉了，解空间也减少了100倍，三重循环也变成了二重循环。也就是我们将验证条件当成解空间的约束条件，减少了解空间的规模，这与我们上面的示例3优化是一个思路。

注意：小鸡是1元3只，需要注意 z/3 时，int会去掉小数点，需要验证z是3的倍数。

#include <iostream>
using namespace std;int main() {int x, y, z;for (x = 0; x <= 20; x++) {for (y = 0; y <= 33; y++) {if ((100 - x - y) % 3 == 0) {if ((5 * x + 3 * y + (100 - x - y) / 3) == 100) {cout << "公鸡：" << x << endl;cout << "母鸡：" << y << endl;cout << "小鸡：" << 100 - x - y << endl;cout << "**********" << endl;}}}}return 0;
}

示例

求所有的三位数,它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和.

分析：

1. 解空间：三位数x，100~999
2. 如何枚举：循环
3. 如何验证（约束条件）：x % 11 == 三个数字平方和
4. 约束条件可否去限制解空间? 否

#include <iostream>
using namespace std;
// 求所有的三位数,它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和.
int main() {for (int i = 100; i <= 999; i++) {// 求三个数平方和int sum = 0;int temp = i;while (temp){int x = temp % 10;sum += (x * x);temp /= 10;}// 验证if (sum == i % 11) {cout << "数字：" << i << endl;}}return 0;
}

结果：

对问题进行建模

我们进一步分析上一题

求所有的三位数,它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和.

假设3位数A的三个数是x，y，z。

1. 0 <= A % 11 <= 10
2. x² + y² + z² <= 10，x*100 + y*10 + z = A
3. 1 <= x <= 3， 0 <= y <= 3，0 <= z <= 3，且都是整数

这样一来，经过简单的人工处理，解空间减少了很多，然后再进行 穷举 + 验证 就可以了，显然比之前的更加高效，因为进行了人工分析。

int x, y, z;
for (x = 1; x <= 3; x++) {for (y = 0; y <= 3; y++) {for (z = 0; z <= 3; z++) {int num = x * 100 + y * 10 + z;if ((x*x + y * y + z * z) == num % 11) {cout << "数字：" << num << endl;}}}
}

这里强调的其实也是，将验证条件进一步分析，将其转换为解空间的约束条件，以降低解空间规模。

穷举 + 验证：穷举范围、穷举方式、验证条件、约束条件

我们再回顾之前的例子，充分体会穷举法的分析思路。

穷举依赖的技术是遍历，也就是解空间的每个解，都要找一遍，注意尽量避免充分。

示例1

• 解空间：2~1000
• 验证条件：各因子之和等于本身
• 约束条件：没有可以转化的验证条件
• 穷举方式：解空间 + 约束条件–>循环

示例2

在数字100~999中，求水仙花数，例如：1³ + 5³+ 3³ = 153。

• 解空间：100~999
• 验证条件：水仙花数
• 约束条件：无
• 穷举方式：解空间+约束条件–>循环

示例3

• 解空间：5个变量，每个变量范围0~9
• 验证条件：满足题目表达式
• 约束条件：5个变量各不相同
• 穷举方式：解空间+约束方式–>减小解空间–>5重循环，如果有值重复，则跳出

示例4

对于一个含有6个元素的一维数组，该数组每个数只能是0或1，将所有情况穷举出来。
例如(0,0,0,0,0,0)、(0,1,0,1,1,0)

注意：本题本身就是求解空间

• 解空间：6个数，每个数是0或1，求全部的0、1序列
• 验证条件：情况不重复
• 约束条件：无
• 穷举方式：解空间+约束条件–>6重循环

问题建模 & 转化：类二进制数

很明显这题的0、1序列，与二进制数类似，可以转换问题，改为求0~63十进制的二进制，间接解题。

属于特殊解法，需要惊人的洞察力。

示例5

已知公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡1元三只，用100元买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？

• 原始解空间：3个变量，x∈[0,20]，y∈[0,33]，z∈[0,100]
• 验证条件
  • x + y + z = 100（看做约束条件）
  • 5x + 3y + z/3 = 100
  • z / 3为整数（z % 3 = 0）
• 约束条件：将验证条件中第一条，转换为约束条件，也就是z = 100 - x -y这与就去掉了一个变量，这个变量范围最大，能够充分减少解空间。
• 约束后解空间：2个变量，x∈[0,20]，y∈[0,33]
• 穷举方式：双重循环

注意：谁是验证条件，谁是约束条件，是跟你的看法有关的。

示例6

求所有的三位数,它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和.

• 原始解空间：数字A，三个位是x，y，z，A范围100~999
• 验证条件
  • A % 11 = x² + y² + z²
• 约束条件：由验证条件进一步分析得出，需要有经验和洞察力
  • A % 11 ∈[0,10]
  • x∈[1,3]，y∈[0,3]，z∈[0,3]
• 约束后解空间：x∈[1,3]，y∈[0,3]，z∈[0,3]
• 穷举方式：三重循环

备注：验证方式需要具体问题具体分析。

充分体会不同算法的组合，因为一道题目，可能背后涉及到多个不同的算法的组合。