一、算法分析

前面我们已经介绍了，研究算法的最终目的就是如何花更少的时间，如何占用更少的内存去完成相同的需求，并且 也通过案例演示了不同算法之间时间耗费和空间耗费上的差异，但我们并不能将时间占用和空间占用量化，因此， 接下来我们要学习有关算法时间耗费和算法空间耗费的描述和分析。有关算法时间耗费分析，我们称之为算法的时 间复杂度分析，有关算法的空间耗费分析，我们称之为算法的空间复杂度分析。

0.1 算法的时间复杂度分析

我们要计算算法时间耗费情况，首先我们得度量算法的执行时间，那么如何度量呢？ 事后分析估算方法：
比较容易想到的方法就是我们把算法执行若干次，然后拿个计时器在旁边计时，这种事后统计的方法看上去的确不 错，并且也并非要我们真的拿个计算器在旁边计算，因为计算机都提供了计时的功能。这种统计方法主要是通过设 计好的测试程序和测试数据，利用计算机计时器对不同的算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率 的高低，但是这种方法有很大的缺陷：必须依据算法实现编制好的测试程序，通常要花费大量时间和精力，测试完 了如果发现测试的是非常糟糕的算法，那么之前所做的事情就全部白费了，并且不同的测试环境(硬件环境)的差别 导致测试的结果差异也很大。

public static void main(String[] args) {long start = System.currentTimeMillis();int sum = 0;int n=100;for (int i = 1; i <= n; i++) { sum += i;}System.out.println("sum=" + sum);long end = System.currentTimeMillis(); System.out.println(end-start);
}

事前分析估算方法：
在计算机程序编写前，依据统计方法对算法进行估算，经过总结，我们发现一个高级语言编写的程序程序在计算机 上运行所消耗的时间取决于下列因素：

1. 算法采用的策略和方案；
2. 编译产生的代码质量；
3. 问题的输入规模(所谓的问题输入规模就是输入量的多少)；
4. 机器执行指令的速度；

此可见，抛开这些与计算机硬件、软件有关的因素，一个程序的运行时间依赖于算法的好坏和问题的输入规模。 如果算法固定，那么该算法的执行时间就只和问题的输入规模有关系了。
我么再次以之前的求和案例为例，进行分析。需求：
计算1到100的和。
第一种解法：

1. 如果输入量为n为1，则需要计算1次；
2. 如果输入量n为1亿，则需要计算1亿次；

public static void main(String[] args) {int sum = 0;//执行1次int n=100;//执行1次for (int i = 1; i <= n; i++) {//执行了n+1次sum += i;//执行了n次}System.out.println("sum=" + sum); 10	
}

第二种解法：

1. 如果输入量为n为1，则需要计算1次；
2. 如果输入量n为1亿，则需要计算1次；

public static void main(String[] args) {int sum = 0;//执行1次int n=100;//执行1次sum = (n+1)*n/2;//执行1次System.out.println("sum="+sum);
}

因此，当输入规模为n时，第一种算法执行了1+1+(n+1)+n=2n+3次；第二种算法执行了1+1+1=3次。如果我们把 第一种算法的循环体看做是一个整体，忽略结束条件的判断，那么其实这两个算法运行时间的差距就是n和1的差 距。
为什么循环判断在算法1里执行了n+1次，看起来是个不小的数量，但是却可以忽略呢？我们来看下一个例子： 需求：
计算100个1+100个2+100个3+…100个100的结果
代码：

public static void main(String[] args) {int sum=0;int n=100;for (int i = 1; i <=n ; i++) {for (int j = 1; j <=n ; j++) {sum+=i;}}System.out.println("sum="+sum); }

上面这个例子中，如果我们要精确的研究循环的条件执行了多少次，是一件很麻烦的事情，并且，由于真正计算和 的代码是内循环的循环体，所以，在研究算法的效率时，我们只考虑核心代码的执行次数，这样可以简化分析。
我们研究算法复杂度，侧重的是当输入规模不断增大时，算法的增长量的一个抽象(规律)，而不是精确地定位需要 执行多少次，因为如果是这样的话，我们又得考虑回编译期优化等问题，容易主次跌倒。
我们不关心编写程序所用的语言是什么，也不关心这些程序将跑在什么样的计算机上，我们只关心它所实现的算 法。这样，不计那些循环索引的递增和循环终止的条件、变量声明、打印结果等操作，最终在分析程序的运行时间 时，最重要的是把程序看做是独立于程序设计语言的算法或一系列步骤。我们分析一个算法的运行时间，最重要的 就是把核心操作的次数和输入规模关联起来。

0.1.1 函数渐近增长

概念：

定两个函数f(n)和g(n),如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N,f(n)总是比g(n)大，那么我们说f(n)的增长渐近 快于g(n)。
概念似乎有点艰涩难懂，那接下来我们做几个测试。测试一：
假设四个算法的输入规模都是n：

1. 算法A1要做2n+3次操作，可以这么理解：先执行n次循环，执行完毕后，再有一个n次循环，最后有3次运算；
2. 算法A2要做2n次操作；
3. 算法B1要做3n+1次操作，可以这个理解：先执行n次循环，再执行一个n次循环，再执行一个n次循环，最后有1

次运算。

1. 算法B2要做3n次操作；

那么，上述算法，哪一个更快一些呢？

通过数据表格，比较算法A1和算法B1：
当输入规模n=1时，A1需要执行5次，B1需要执行4次，所以A1的效率比B1的效率低； 当输入规模n=2时，A1需要执行7次，B1需要执行7次，所以A1的效率和B1的效率一样；
当输入规模n>2时，A1需要的执行次数一直比B1需要执行的次数少，所以A1的效率比B1的效率高；
所以我们可以得出结论：

输入规模n>2时，算法A1的渐近增长小于算法B1 的渐近增长

通过观察折线图，我们发现，随着输入规模的增大，算法A1和算法A2逐渐重叠到一块，算法B1和算法B2逐渐重叠 到一块，所以我们得出结论：

随着输入规模的增大，算法的常数操作可以忽略不计测试二：

假设四个算法的输入规模都是n：

1. 算法C1需要做4n+8次操作
2. 算法C2需要做n次操作
3. 算法D1需要做2n^2次操作
4. 算法D2需要做n^2次操作

那么上述算法，哪个更快一些？

通过数据表格，对比算法C1和算法D1：
当输入规模n<=3时，算法C1执行次数多于算法D1，因此算法C1效率低一些； 当输入规模n>3时，算法C1执行次数少于算法D1，因此，算法D2效率低一些， 所以，总体上，算法C1要优于算法D1.

过折线图，对比对比算法C1和C2：
随着输入规模的增大，算法C1和算法C2几乎重叠通过折线图，对比算法C系列和算法D系列：
随着输入规模的增大，即使去除n^2前面的常数因子，D系列的次数要远远高于C系列。

因此，可以得出结论：

随着输入规模的增大，与最高次项相乘的常数可以忽略

测试三：
假设四个算法的输入规模都是n： 算法E1:
2n^2+3n+1;
算法E2：
n^2
算法F1：
2n^3+3n+1 算法F2： n^3
那么上述算法，哪个更快一些？

通过数据表格，对比算法E1和算法F1：
当n=1时，算法E1和算法F1的执行次数一样；
当n>1时，算法E1的执行次数远远小于算法F1的执行次数； 所以算法E1总体上是由于算法F1的。
通过折线图我们会看到，算法F系列随着n的增长会变得特块，算法E系列随着n的增长相比较算法F来说，变得比较 慢，所以可以得出结论：

最高次项的指数大的，随着n的增长，结果也会变得增长特别快

测试四：
假设五个算法的输入规模都是n： 算法G：
n^3;
算法H:
n^2;
算法I：
n:
算法J：
logn
算法K:
1
那么上述算法，哪个效率更高呢？

通过观察数据表格和折线图，很容易可以得出结论： 算法函数中n最高次幂越小，算法效率越高
总上所述，在我们比较算法随着输入规模的增长量时，可以有以下规则：

1 算法函数中的常数可以忽略；

1. 算法函数中最高次幂的常数因子可以忽略；
2. 算法函数中最高次幂越小，算法效率越高。

1.1 算法时间复杂度

1.1.1 大O记法

定义：

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随着n的变化情况并确定T(n)的 量级。算法的时间复杂度，就是算法的时间量度，记作:T(n)=O(f(n))。它表示随着问题规模n的增大，算法执行时间 的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称时间复杂度，其中f(n)是问题规模n的某个函数。
在这里，我们需要明确一个事情：执行次数=执行时间
用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。一般情况下，随着输入规模n的增大，T(n)增长最 慢的算法为最优算法。
下面我们使用大O表示法来表示一些求和算法的时间复杂度： 算法一：

public static void main(String[] args) {int sum = 0;//执行1次int n=100;//执行1次sum = (n+1)*n/2;//执行1次System.out.println("sum="+sum); 
}

算法二：

public static void main(String[] args) {int sum = 0;//执行1次int n=100;//执行1次for (int i = 1; i <= n; i++) {sum += i;//执行了n次6	}System.out.println("sum=" + sum); }
}

算法三：

public static void main(String[] args) {int sum=0;//执行1次int n=100;//执行1次for (int i = 1; i <=n ; i++) {for (int j = 1; j <=n ; j++) {sum+=i;//执行n^2次7	}}System.out.println("sum="+sum); }
}

如果忽略判断条件的执行次数和输出语句的执行次数，那么当输入规模为n时，以上算法执行的次数分别为： 算法一：3次
算法二：n+3次 算法三：n^2+2次
如果用大O记法表示上述每个算法的时间复杂度，应该如何表示呢？基于我们对函数渐近增长的分析，推导大O阶 的表示法有以下几个规则可以使用：

2 用常数1取代运行时间中的所有加法常数；

1. 在修改后的运行次数中，只保留高阶项；
2. **如果最高阶项存在，且常数因子不为1，则去除与这个项相乘的常数； **所以，上述算法的大O记法分别为：

算法一：O(1) 算法二：O(n)

算法三：O(n^2)

2.1 常见的大O阶

3 线性阶

一般含有非嵌套循环涉及线性阶，线性阶就是随着输入规模的扩大，对应计算次数呈直线增长，例如：

public static void main(String[] args) {int sum = 0;int n=100;for (int i = 1; i <= n; i++) {sum += i;}System.out.println("sum=" + sum); 
}

上面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n),因为循环体中的代码需要执行n次

4 平方阶

一般嵌套循环属于这种时间复杂度

public static void main(String[] args) {int sum=0,n=100;for (int i = 1; i <=n ; i++) {for (int j = 1; j <=n ; j++) { sum+=i;}}System.out.println(sum);
}

上面这段代码，n=100，也就是说，外层循环每执行一次，内层循环就执行100次，那总共程序想要从这两个循环 中出来，就需要执行100*100次，也就是n的平方次，所以这段代码的时间复杂度是O(n^2).

5 立方阶

一般三层嵌套循环属于这种时间复杂度

public static void main(String[] args) {int x=0,n=100;for (int i = 1; i <=n ; i++) {for (int j = i; j <=n ; j++) {for (int j = i; j <=n ; j++) { x++;}}}System.out.println(x);
}

上面这段代码，n=100，也就是说，外层循环每执行一次，中间循环循环就执行100次，中间循环每执行一次，最 内层循环需要执行100次，那总共程序想要从这三个循环中出来，就需要执行100_100_100次，也就是n的立方，所 以这段代码的时间复杂度是O(n^3).

6 对数阶

对数，属于高中数学的内容，我们分析程序以程序为主，数学为辅，所以不用过分担心。

1 int i=1,n=100;
2 while(i<n){ 3 i = i*2; 4 }

由于每次i*2之后，就距离n更近一步，假设有x个2相乘后大于n，则会退出循环。由于是2^x=n,得到x=log(2)n,所 以这个循环的时间复杂度为O(logn);
对于对数阶，由于随着输入规模n的增大，不管底数为多少，他们的增长趋势是一样的，所以我们会忽略底数。

7 常数阶

一般不涉及循环操作的都是常数阶，因为它不会随着n的增长而增加操作次数。例如：

public static void main(String[] args) { int n=100;int i=n+2;System.out.println(i); 
}

上述代码，不管输入规模n是多少，都执行2次，根据大O推导法则，常数用1来替换，所以上述代码的时间复杂度 为O(1)
下面是对常见时间复杂度的一个总结：

描述	增长的数量级	说明	举例
常数级别	1	普通语句	将两个数相加
对数级别	logN	二分策略	二分查找
线性级别	N	循环	找出最大元素
线型对数级别	NlogN	分治思想	归并排序
平方级别	N^2	双层循环	检查所有元素对
立方级别	N^3	三层循环	检查所有三元组
指数级别	2^N	穷举查找	检查所有子集

他们的复杂程度从低到高依次为：
O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n3)
根据前面的折线图分析，我们会发现，从平方阶开始，随着输入规模的增大，时间成本会急剧增大，所以，我们的 算法，尽可能的追求的是O(1),O(logn),O(n),O(nlogn)这几种时间复杂度，而如果发现算法的时间复杂度为平方阶、 立方阶或者更复杂的，那我们可以分为这种算法是不可取的，需要优化。

7.1 函数调用的时间复杂度分析

之前，我们分析的都是单个函数内，算法代码的时间复杂度，接下来我们分析函数调用过程中时间复杂度。 案例一：

public static void main(String[] args) {int n=100;for (int i = 0; i < n; i++) { show(i);}
}
priv0ate static void show(int i) {System.out.println(i);
}

在main方法中，有一个for循环，循环体调用了show方法，由于show方法内部只执行了一行代码，所以show方法 的时间复杂度为O(1),那main方法的时间复杂度就是O(n)

案例二：

public static void main(String[] args) {int n=100;for (int i = 0; i < n; i++) { show(i);}
}
private static void show(int i) {for (int j = 0; j < i; i++) { System.out.println(i);}
}

在main方法中，有一个for循环，循环体调用了show方法，由于show方法内部也有一个for循环，所以show方法 的时间复杂度为O(n),那main方法的时间复杂度为O(n^2)

案例三：

public static void main(String[] args) {int n=100; show(n);for (int i = 0; i < n; i++) { show(i);}for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) { System.out.println(j);}}
}
private static void show(int i) {for (int j = 0; j < i; i++) { System.out.println(i);}
}

在show方法中，有一个for循环，所以show方法的时间复杂度为O(n),在main方法中，show(n)这行代码内部执行 的次数为n，第一个for循环内调用了show方法，所以其执行次数为n^2,第二个嵌套for循环内只执行了一行代码， 所以其执行次数为n^{2,那么main方法总执行次数为n+n}2+n²⁼²ⁿ2+n。根据大O推导规则，去掉n保留最高阶项，并去掉最高阶项的常数因子2，所以最终main方法的时间复杂度为O(n^2)

7.1.1 最坏情况

从心理学角度讲，每个人对发生的事情都会有一个预期，比如看到半杯水，有人会说：哇哦，还有半杯水哦！但也 有人会说：天哪，只有半杯水了。一般人处于一种对未来失败的担忧，而在预期的时候趋向做最坏的打算，这样即 使最糟糕的结果出现，当事人也有了心理准备，比较容易接受结果。假如最糟糕的结果并没有出现，当事人会很快 乐。
算法分析也是类似，假如有一个需求：
有一个存储了n个随机数字的数组，请从中查找出指定的数字。

public int search(int num){int[] arr={11,10,8,9,7,22,23,0};for (int i = 0; i < arr.length; i++) {if (num==arr[i]){return i;}}return -1; 
}

最好情况：

查找的第一个数字就是期望的数字，那么算法的时间复杂度为O(1) 最坏情况：
查找的最后一个数字，才是期望的数字，那么算法的时间复杂度为O(n) 平均情况：
任何数字查找的平均成本是O(n/2)
最坏情况是一种保证，在应用中，这是一种最基本的保障，即使在最坏情况下，也能够正常提供服务，所以，除非 特别指定，我们提到的运行时间都指的是最坏情况下的运行时间。

7.2 算法的空间复杂度分析

计算机的软硬件都经历了一个比较漫长的演变史，作为为运算提供环境的内存，更是如此，从早些时候的512k,经 历了1M，2M，4M…等，发展到现在的8G，甚至16G和32G，所以早期，算法在运行过程中对内存的占用情况也是 一个经常需要考虑的问题。我么可以用算法的空间复杂度来描述算法对内存的占用。

7.2.1 java中常见内存占用

1. 基本数据类型内存占用情况：

数据类型	内存占用字节数
byte	1
short	2
int	4
long	8
float	4
double	8
boolean	1
char	2

1. 计算机访问内存的方式都是一次一个字节

1. 一个引用（机器地址）需要8个字节表示：

例如： Date date = new Date(),则date这个变量需要占用8个字节来表示

1. 创建一个对象，比如new Date()，除了Date对象内部存储的数据(例如年月日等信息)占用的内存，该对象本身也有内存开销，每个对象的自身开销是16个字节，用来保存对象的头信息。
2. 一般内存的使用，如果不够8个字节，都会被自动填充为8字节：

1. java中数组被被限定为对象，他们一般都会因为记录长度而需要额外的内存，一个原始数据类型的数组一般需要

24字节的头信息(16个自己的对象开销，4字节用于保存长度以及4个填充字节)再加上保存值所需的内存。

7.2.2 算法的空间复杂度

了解了java的内存最基本的机制，就能够有效帮助我们估计大量程序的内存使用情况。
算法的空间复杂度计算公式记作：S(n)=O(f(n)),其中n为输入规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。 案例：
对指定的数组元素进行反转，并返回反转的内容。解法一：

public static int[] reverse1(int[] arr){int n=arr.length;//申请4个字节int temp;//申请4个字节for(int start=0,end=n-1;start<=end;start++,end--){temp=arr[start];arr[start]=arr[end];arr[end]=temp; }return arr; 10	
}

解法二：

public static int[] reverse2(int[] arr){int n=arr.length;//申请4个字节int[] temp=new int[n];//申请n*4个字节+数组自身头信息开销24个字节for (int i = n-1; i >=0; i--) {temp[n-1-i]=arr[i];}return temp;
}

忽略判断条件占用的内存，我们得出的内存占用情况如下： 算法一：
不管传入的数组大小为多少，始终额外申请4+4=8个字节； 算法二：
4+4n+24=4n+28;
根据大O推导法则，算法一的空间复杂度为O(1),算法二的空间复杂度为O(n),所以从空间占用的角度讲，算法一要 优于算法二。
由于java中有内存垃圾回收机制，并且jvm对程序的内存占用也有优化（例如即时编译），我们无法精确的评估一 个java程序的内存占用情况，但是了解了java的基本内存占用，使我们可以对java程序的内存占用情况进行估算。
由于现在的计算机设备内存一般都比较大，基本上个人计算机都是4G起步，大的可以达到32G，所以内存占用一般 情况下并不是我们算法的瓶颈，普通情况下直接说复杂度，默认为算法的时间复杂度。
但是，如果你做的程序是嵌入式开发，尤其是一些传感器设备上的内置程序，由于这些设备的内存很小，一般为几kb，这个时候对算法的空间复杂度就有要求了，但是一般做java开发的，基本上都是服务器开发，一般不存在这样 的问题。