C. The Sports Festival
题意:对于给定的整型数组aaa,每次选择其中一个元素aia_iai(不能重复选择同一元素),每次计算已选择的元素的极差(最大元素减最小元素的差),输出最后极差和的最小可能值
思路:(赛后补题)采用二维动态规划,最后一个极差一定是整个数组的极差(amax−amina_{max} - a_{min}amax−amin),而前一个极差无非有两种情况:
- 剔除最小的元素,即整个数组中最大减去最次小
- 剔除最大的元素,即整个数组中最次大减去最小
若不剔除两边的元素,而是中间的元素的话,极差则与最后一个极差一致,而最后一个极差一定是最大的极差,显然不符合最小化的要求
dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]表示剔除iii个最小元素和jjj个最大元素,dp[0][0]dp[0][0]dp[0][0]则表示最后一个极差,将数组升序排序后,由上面的讨论可得到状态转移方程:
dp[i][j]=min(dp[i−1][j],d[i][j−1])+(an−1−j−ai)dp[i][j] = min(dp[i-1][j], d[i][j - 1]) + (a_{n-1-j}-a_i)dp[i][j]=min(dp[i−1][j],d[i][j−1])+(an−1−j−ai)
当i+j=n−1i+j = n - 1i+j=n−1时即说明已完成,此时n−1−j=in-1-j = in−1−j=i极差的减数与被减数指向同一元素,即最初只选择了一个元素时的情况
最后的答案等于,dpdpdp数组中满足i+j=n−1i+j = n - 1i+j=n−1的最小元素值,显然有nnn个元素满足条件,每个元素即代表了最初选择数组中每个aia_iai所能得到的最小结果
#include<bits/stdc++.h>
#define debug1(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int N = 2010;
const int MOD = 10000;
using namespace std;
int a[N];
ll dp[N][N];
int main()
{int n;cin>>n;for(int i = 1; i <= n; i++) cin>>a[i];sort(a+1, a+n+1);dp[0][0] = a[n] - a[1];for(int j = 1; j < n; j++) dp[0][j] = dp[0][j-1] + (a[n-j] - a[1]);for(int i = 1; i < n; i++) dp[i][0] = dp[i-1][0] + (a[n] - a[1+i]);ll ex;for(int i = 1; i < n; i++){for(int j = 1; i + j < n; j++){ex = a[n-j] - a[1+i];dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + ex;}}ll ans = dp[0][n-1];for(int i = 0; i < n; i++){ans = min(ans, dp[i][n-1-i]);}cout<<ans<<"\n";return 0;
}