【BZOJ】【1041】【HAOI2008】圆周上的点

数学

　　orz hzwer

　　完全不会做……

　　很纠结啊，如果将来再遇到这种题，还是很难下手啊……

引用题解：

【分析】：

样例图示：

首先,最暴力的算法显而易见：枚举x轴上的每个点，带入圆的方程，检查是否算出的值是否为整点，这样的枚举量为2*N，显然过不了全点。

然后想数学方法。

有了上面的推理，那么实现的方法为：

枚举d∈[1,sqrt(2R)]，然后根据上述推理可知：必先判d是否为2R的一约数。

此时d为2R的约数有两种情况：d=d或d=2R/d。

第一种情况：d=2R/d。枚举a∈[1,sqrt(2R/2d)] <由2*a*a < 2*R/d转变来>，算出对应的b=sqrt(2R/d-a^2)，检查是否此时的A,B满足：A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>，若是就将答案加1

第二种情况：d=d。枚举a∈[1,sqrt(d/2)] <由2*a*a < d转变来>，算出对应的b=sqrt(d-a^2)，检查是否此时的A,B满足：A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>，若是就将答案加1

因为这样只算出了第一象限的情况<上面枚举时均是从1开始枚举>，根据圆的对称性，其他象限的整点数与第一象限中的整点数相同，最后，在象限轴上的4个整点未算，加上即可，那么最后答案为ans=4*第一象限整点数+4

【时间复杂度分析】：

枚举d：O(sqrt(2R)),然后两次枚举a：O(sqrt(d/2))+O(sqrt(R/d))，求最大公约数：O(logN)

 1 /**************************************************************
 2     Problem: 1041
 3     User: Tunix
 4     Language: C++
 5     Result: Accepted
 6     Time:192 ms
 7     Memory:816 kb
 8 ****************************************************************/
 9  
10 //BZOJ 1000
11 #include<cmath>
12 #include<cstdio>
13 using namespace std;
14 typedef long long LL;
15 typedef double lf;
16 /******************tamplate*********************/
17 LL r,ans;
18 LL gcd(LL x,LL y){return y?gcd(y,x%y):x;}
19 bool check(LL y,lf x){
20     if (x==floor(x)){
21         LL x1=x;
22         if (gcd(x1*x1,y*y)==1 && x1*x1!=y*y)
23             return 1;
24     }
25     return false;
26 }
27 int main(){
28     scanf("%lld",&r);
29     for(LL d=1;d<=sqrt(2*r);d++)
30         if (2*r%d==0){
31             for(LL a=1;a<=(LL)sqrt(2*r/(2*d));a++){
32                 lf b=sqrt((2*r)/d-a*a);
33                 if (check(a,b))ans++;
34             }
35             if (d!=2*r/d){
36                 for(LL a=1;a<=(LL)sqrt(d/2);a++){
37                     lf b=sqrt(d-a*a);
38                     if (check(a,b))ans++;
39                 }
40             }
41         }
42     printf("%lld\n",ans*4+4);
43     return 0;
44 }