信号与线性系统翻转课堂笔记9——傅里叶变换

The Flipped Classroom9 of Signals and Linear Systems

对应教材：《信号与线性系统分析（第五版）》高等教育出版社，吴大正著

一、要点

（1，重点）非周期信号频谱（傅里叶变换）的概念及其物理意义，傅里叶变换与傅里叶级数之间的联系和区别；
（2，重点）矩形单脉冲频谱的特点和带宽；
（3，重点）其他典型非周期信号的频谱，需要熟记δ(t)、ε(t)、e^(-αt) ε(t)、符号函数、矩形脉冲等非周期信号的傅里叶变换表达式；
（4，重点）周期信号的傅里叶变换，需要熟记直流信号、 cos⁡(t)、 sin⁡(t)、冲激序列等周期信号的傅里叶变换表达式；
（5）周期信号傅里叶变换与周期信号频谱之间的关系。

二、问题与解答

1、非周期信号的频谱密度（傅里叶变换）与周期信号的频谱（傅里叶系数）之间，存在何种区别和联系？为什么非周期信号的频谱需要用频谱密度来描述？以矩形单脉冲的频谱密度（傅里叶变换）和周期矩形脉冲的频谱（傅里叶系数）为例，说明非周期信号频谱和周期信号频谱的特点（相同点和不同点）。

2、非周期信号频谱的物理意义是什么？分别画出δ(t)、 cos⁡(t)和直流信号的频谱（傅里叶变换），基于频谱的物理意义，解释这三个信号频谱的含义。

3、简述求符号函数 sgn⁡( t)频谱的思路和方法。符号函数、阶跃函数和直流信号频谱之间有什么联系？

4、周期信号的频谱和频谱密度之间是何种关系？以周期矩形脉冲为例，说明如果已知周期矩形脉冲的频谱（傅里叶系数），如何求其傅里叶变换？

5、设有一个周期信号f(t)，f_0 (t)是截取f(t)的一个周期所构成的单脉冲信号（对应f(t)在原点附近的一个周期），请分别列出周期信号f(t)的傅里叶系数的计算公式和非周期信号f_0 (t)的傅里叶变换的定义式，分析它们之间的联系，得出利用单脉冲的傅里叶变换来求傅里叶系数的公式（已知f_0 (t)的傅里叶变换，如何直接求得f(t)的傅里叶系数）。并以周期单位冲激序列为例，验证所得到公式的正确性。

1、非周期信号傅里叶变换&周期信号傅里叶系数

非周期信号的频谱密度（傅里叶变换）与周期信号的频谱（傅里叶系数）之间，存在何种区别和联系？（第一问）为什么非周期信号的频谱需要用频谱密度来描述？（第二问）以矩形单脉冲的频谱密度（傅里叶变换）和周期矩形脉冲的频谱（傅里叶系数）为例，说明非周期信号频谱和周期信号频谱的特点（相同点和不同点）。（第三问）

---

（1）

（2）
因为当周期T趋近于无限大时，相邻谱线的间隔Ω趋近于无穷小，谱系数趋近于0，离散谱成为连续谱。各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，难以用Fn直观描述信号的频谱，但n不同时其相对大小仍可以区别，所以引入频谱密度概念。
（3）
相同点：
非周期矩形脉冲的频谱（密度）与周期矩形脉冲的频谱包络波形相同；
非周期矩形脉冲的傅里叶变换为实数，与周期矩形脉冲一样，其幅度频谱和相位频谱可以合二为一；
脉冲宽度与带宽成反比。
不同点：
非周期矩形脉冲的频谱密度为连续函数，而周期矩形脉冲的频谱只在离散点具有非零谱线；
两者在物理含义上有本质区别：周期信号表示成傅里叶系数形式，对应的频率分量的系数就是该频率分量的具体幅值。而非周期信号借鉴了傅里叶系数的推导方式，将周期推广到了无穷大，得到了傅里叶变换，傅里叶变换得到的是频谱密度函数，每个频率点对应的数值并不是信号在该频率上分量的实际幅值；必须要除以信号的周期（即无穷大）才是实际幅值，所以可以说非周期信号在任意频率分量上的幅值都是零。

2、非周期信号频谱的物理意义与实例

非周期信号频谱的物理意义是什么？分别画出δ(t)、 cos⁡(t)和直流信号的频谱（傅里叶变换），基于频谱的物理意义，解释这三个信号频谱的含义。

---

3、求符号函数频谱

简述求符号函数 sgn⁡(t)频谱的思路和方法。符号函数、阶跃函数和直流信号频谱之间有什么联系？

---

4、周期信号的频谱与频谱密度

周期信号的频谱和频谱密度之间是何种关系？以周期矩形脉冲为例，说明如果已知周期矩形脉冲的频谱（傅里叶系数），如何求其傅里叶变换？

---

周期矩形脉冲：

5、周期脉冲信号傅里叶系数&单脉冲信号傅里叶变换

设有一个周期信号f(t)，f_0 (t)是截取f(t)的一个周期所构成的单脉冲信号（对应f(t)在原点附近的一个周期），请分别列出周期信号f(t)的傅里叶系数的计算公式和非周期信号f_0 (t)的傅里叶变换的定义式，分析它们之间的联系，得出利用单脉冲的傅里叶变换来求傅里叶系数的公式（已知f_0 (t)的傅里叶变换，如何直接求得f(t)的傅里叶系数）。并以周期单位冲激序列为例，验证所得到公式的正确性。

---

三、反思总结

暂无