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在学习过一次函数和二次函数(修改版)后, 我们知道, 一次函数y=kx+b当一次项系数k大于零时是增函数, 小于零时是减函数. 二次函数y=ax²+bx+c当二次项系数a大于零时图象沿x轴从左向右先减后增, a小于零时先增后减. 

可以想象, 次数更高的函数, 在定义域上的性质更复杂. 为了精确刻画函数的性质, 数学家引入了区间的概念. 

设a, b是两个实数, 并且a

(1) 满足不等式 a ≤ x ≤ b 的实数的集合叫做闭区间, 记作[a, b], 用数轴表示就是

实心圆点表示区间包含该端点.

(2) 满足不等式 a < x < b 的实数的集合叫做开区间, 记作(a, b), 用数轴表示就是

空心圆点表示区间不包含该端点.

(3) 满足不等式 a ≤ x < b 或 a < x ≤ b的实数x的集合叫做半开半闭区间, 分别表示为[a, b)或(a, b]. 左闭右开区间[a, b)在数轴上的表示是

(请尝试画出左开右闭区间(a, b]在数轴上的表示.)

a, b叫做区间的端点. 方括号 “[” 或 “]” 表示区间包含该端点, 圆括号 “(” 或 “)” 表示区间不包含该端点. 

实数集R用区间(－∞, +∞)表示. 符号∞叫做无穷大, －∞, +∞ 分别叫做负无穷大和正无穷大. 负实数集用区间(－∞, 0)表示, 正实数集用区间(0, +∞)表示.

单调函数. 现在我们使用区间来描述单调函数的定义. 如果函数

在定义域内的某个区间D上对任意的

都有

则称它是区间D上的增函数. 如果对任意的

都有

则称它是区间D上的减函数. 增函数和减函数统称为单调函数.

二次函数y=ax²(a>0)在区间(－∞, 0]上是减函数, 在区间(0, +∞)上是增函数, 并且图象关于y轴对称. 关于y轴对称的函数叫做偶函数. 它的定义如下.

偶函数. 如果函数

对定义域内的任意一个x值, 都满足

就称它是偶函数(even function). 上面的等式关系表明偶函数的图象关于y轴对称. 二次函数y=ax²满足条件 a(-x)²=ax², 所以是偶函数. 

奇函数. 如果函数

对定义域内的任意一个x值, 都满足

就称它是奇函数(odd function). 上面的等式表明奇函数的图象关于原点对称. 三次函数y=x³是奇函数, 因为(-x)³=-x³. 

函数有自变量、对应法则和函数值, 函数值也叫因变量.  自变量的取值范围叫做定义域, 全部函数值的集合叫做值域. 定义域、对应法则和值域构成函数的三要素. 

下面, 我们来认识三个常用的基本初等函数: 指数函数、对数函数和幂函数, 并考察它们的定义域、对应法则、值域以及单调性和奇偶性. 

指数函数. 函数

叫做指数函数(exponential function), 定义域是R, a是常数. 要求a≠1是为了排除y=1的平凡情况. 规定a>0的原因在下面给出.

指数函数就是指数是自变量的函数. a^x叫做a的x次幂. a叫做幂的底数, x叫做幂的指数. x的取值范围是R, 因此a^x是实数指数幂. 要使指数函数有意义, 需要定义实数指数幂和它的运算法则.

在初中数学中我们学过正整数指数幂aⁿ(a∈R, n∈N*)和它的运算法则(m, n都是正整数):

一个自然的想法是把正整指数幂aⁿ的运算法则推广到实数指数幂.

首先推广到整数指数幂aⁿ(a≠0, n∈Z, Z代表整数集). 这要求取消第(3)条法则中m>n的限制. 如果m=n, 要使第(3)条法则 

成立, 由于aⁿ/aⁿ=1, 只需要令零指数幂a⁰=1即可. 如果m, 要使第(3)条法则

成立, 由于a^m/aⁿ=1/a^n-m, 只需要令a^m-n=1/a^n-m即可, 这就得到负整数指数幂的定义a^-p=1/a^p(因为mp=n-m, p<0). 有了零指数幂和负整数指数幂的定义, 容易验证正整数指数幂的运算法则对整数指数幂aⁿ(a≠0, n∈Z)也成立.

接着将整数指数幂运算法则推广到有理数指数幂a^α(a≠0, α∈Q, Q是有理数集). 令m=1/n, 由上面的第(2)条法则得到 (a^1/n)ⁿ=a. 如何使 (a^1/n)ⁿ=a成立呢?(因为上述法则现在只对整数指数幂成立)

我们知道满足x²=2的x叫做2的平方根, 记作

在实数范围内, 满足x²=a(a≥0)的x叫做a的平方根(或二次方根、二次根式), 记作

满足x³=a(a∈R)的x叫做a的立方根(或三次方根、三次根式), 记作

一般地, 满足xⁿ=a(a∈R, n>1, n∈N*)的实数x叫做a的n次方根. 当n是偶数时, a必须是非负实数, 把a开n次方得到

当n是奇数时, a是任意实数, 把a开n次方得到

为了避免对指数n的奇偶性进行讨论, 从现在开始令a>0(这就是指数函数中要求a>0的原因). 这样对任意的 n>1且n∈N*, 由xⁿ=a(a>0 )得到

再代入xⁿ=a得到

因此要使法则(a^1/n)ⁿ=a成立, 只需令

类似地, 如果存在实数x, 使得xⁿ=a^m(a>0, n>1, n, m∈N*, 且m/n是既约分数), 那么, 把a^m开n次方得到

要使第(2)条法则(a^m/n)ⁿ=a^(m/n)n=a^m对正分数成立, 只需令

从而得到正有理数指数幂a^m/n(a>0, n>1, n, m∈N*, 且m/n是既约分数)的定义. 再利用负整数指数幂的定义, 要使第(2)条法则对负有理数指数幂成立, 需要规定

从而得到负有理数指数幂的定义. 至此我们就完成了有理数指数幂的定义. 使用这个定义容易验证整数指数幂aⁿ(a≠0, n∈Z)的运算法则对有理数指数幂a^α (a>0, α∈Q)也成立.

最后将有理数指数幂a^α(a>0, α∈Q)的法则推广到无理数指数幂. 由于无理数指数幂的定义需要用到极限的概念, 这里暂不讨论, 只需要知道结论是可以推广就行了. 

最终得到实数指数幂a^α (a>0, α∈R)的运算法则是 (a>0, b>0, α, β∈R)

练习: 计算或化简.

指数函数的图象和性质. 有了实数指数幂的定义和运算法则, 就可以考察指数函数

的图象和性质了. 指数函数y=a^x的图象和性质与a的取值有关, 我们取a=2, 3, 1/2, 1/3, 画出这四个函数的图象, 然后归纳出指数函数的性质.

例: 画出函数y=2^x、y=3^x、y=(1/2)^x和y=(1/3)^x的图象. 

通过描点和连线, 得到这四个指数函数的图象, 见下图.

观察这四个图象, 我们归纳出指数函数y=a^x(a>0且a≠1)性质是:

(1) 指数函数的定义域是R, 值域是区间(0, +∞).

(2) 指数函数都经过点(0, 1), 这是因为当x=0时, y=a⁰=1.

(3) 当a>1时, y=a^x是R上的增函数, 并且当x>0时, y>1; 当x<0时 0

(4) 当0a^x是R上的减函数, 并且当x>0时, 01.

(5)指数函数的图象无限靠近x轴.

练习: 利用指数函数的性质, 比较下列各题中两个值的大小.

对数函数. 要定义对数函数, 首先要定义对数. 

如果令p=a^x(a>0且a≠1), 由x的值就可以得到对应的p值. 例如当x=2时, p=a². 

反过来, 知道p的值, 由p=a^x计算x的值, 这时x就叫做以a为底p的对数, 用符号log(log是logarithm的缩写)记作

其中a叫做对数的底数, p叫做真数. 因为a>0, 所以p=a^x>0. 所以真数大于零.

有了对数的定义后, 由p=a^x, 可以得到

反过来, 由x=log_ap, 可以得到

例如, 16=4², 那么2=log₄16. 2就是以4为底16的对数. 反过来, 如果2=log₄16, 那么16= 4².  

将x=log_ap代入p=a^x, 得到恒等式

由1=a⁰, 得到0=log_a1. 由a=a¹, 得到1=log_aa. 因此得到对数log_ap的三个重要性质: 

(1) 真数p>0;

(2) 1的对数是0, 即log_a1=0; 

(3) 底数的对数是1, 即log_aa=1. 

利用对数x=log_ap和p=a^x的关系可以推导出对数的运算法则(a>0且a≠1, p>0, q>0):

第一条法则就是积的对数等于对数的和, 第二条就是商的对数等于对数的差. 第一条法则对两个以上正数的乘积也成立, 仍然等于每个正数对数的和.

log₁₀p是以10为底p的对数, 叫做常用对数. 用一个简单的符号

来表示. log_ep是以无理数e=2.71828...为底p的对数, 叫做自然对数, 用一个简单的符号

来表示. 

常用对数和自然对数可以使用对数表或科学计算器得到. 在计算其它底数的对数时, 如果无法直接得到结果, 可以使用下面的换底公式, 转换成常用对数或自然对数的商, 就可以通过对数表或计算器计算了.

(设log_bp=x, 那么p=b^x, 两边同时取以a为底的对数, 得到log_ap=log_ab^x=xlog_ab, 整理后就得到的换底公式)

练习: 计算下列对数的值.

对数函数的图象和性质. 有了对数的概念后, 就可以定义对数函数了. 函数

叫做对数函数(logarithmic function), 定义域是(0, +∞),  也就是x>0. y=log_ax的图象和性质与常数a的取值有关, 我们取两个不同的a值, 画出函数的图象, 并归纳出它的性质.

例:  分别取a=2和0.5,使用描点连线法画出函数y=log₂x和y=log_0.5x的图象, 见下图.

观察这两个函数的图象, 归纳出对数函数y=log_ax(a>0且a≠1)的性质:

(1) 对数函数的定义域是区间(0, +∞), 值域是R.

(2) 对数函数的图象都过点(1, 0), 这是因为当x=1时, y=log_a1=0. 

(3) 当 a>1时, y=log_ax是定义域上的增函数. 并且当01时, y>0.

(4) 当 0ax是定义域上的减函数. 并且当00; 当x>1时, y<0.

(5) 对数函数的图象无限靠近y轴.

练习: 

(1). 求函数y=log_a(3+x)(a>0且a≠1)的定义域.  

(2). 比较log₃3.8与log₃7的大小.

指数函数与对数函数的关系. 我们知道在函数的定义中, 对于自变量x的每一个取值, 根据对应法则都有唯一一个y值和它对应. 反过来, 每一个y值可能对应自变量x的多个取值. 比如二次函数y=x², y=4对应x=2和-2. 因此y到x的对应不是函数.

但是对于指数函数y=a^x(a>0且a≠1), 每一个y值也都唯一对应一个x值, 也就是从y到x的对应也是一个函数, 这个函数就是对数函数x=log_ay(a>0且a≠1) 它叫做指数函数y=a^x的反函数. 函数x=log_ay(a>0且a≠1)的定义域是(0, +∞), 值域是R, 函数y=a^x的定义域是R,值域是(0, +∞).

一般地, 设函数

的定义域是集合A, 值域是集合B. 并且对B中任意一个y值, 都有A中唯一一个x值和它对应, 即有唯一的x满足

那么称这个函数是A到B的一一对应. 此时由y到x的对应也是一个函数, 记作

它叫做原函数的反函数, 定义域是B, 值域是A.

对数函数x=log_ay是指数函数y=a^x的反函数, 指数函数y=a^x也是对数函数x=log_ay的反函数, 因此对数函数和指数函数互为反函数. 

使用函数习惯的表示方法, 将反函数x=log_ay写成形式y=log_ax. 注意y=log_ax的定义域是y=a^x的值域, y=log_ax的值域是y=a^x的定义域. 设(u, v)是y=a^x图象上的任意一点, 那么(v, u)就是y=log_ax图象上的点. 这两个点关于直线y=x对称, 并且可以证明这两个函数图象关于直线y=x对称. 

幂函数. 一般地, 称函数

叫做幂函数(power function), 其中x是自变量, a是常数. 幂函数的定义域与a的取值有关.

幂函数的图象和性质. a=1时的幂函数就是一次函数y=x. a=2时的幂函数就是二次函数y=x². 常数a取不同的值, 会得到不同图象和性质的幂函数. 

 例:  分别取a=3, 2, 1/2, -1, 画出幂函数y=x³、y=x²、y=x^1/2和y=x^-1图象, 见下图. 

y=x²是偶函数, 定义域是R, 值域是[0, +∞), 图象关于y轴对称. y=x³是奇函数, 定义域是R, 值域也是R, 图象关于原点对称.

y=x^1/2的定义域是[0, +∞), 值域也是[0, +∞), 在区间[0, +∞)上是增函数. y=x^-1的定义域是(－∞, 0)U(0, +∞), 不包含0. 值域是(－∞, 0)U(0, +∞), 也不包含0.

通过观察上面的图象, 我们发现这四个函数的图象差别较大, 定义域、值域、单调性和奇偶性各有不同, 因此只能归纳出幂函数y=x^a(a∈R)最基本的性质:

(1) 幂函数y=x^a(a∈R)的图象都经过点(1, 1), 这是因为当x=1时, y=1^a=1.

(1) 当 a>0时, 幂函数的图象经过原点, 在区间[0, +∞)上是增函数. 

(3)  当 a<0时, 幂函数在区间(0, +∞)上是减函数, 且在第一象限内无限逼近x轴和y轴.

练习:

(1). 比较2^1.5与3^1.5的大小.   

(2). 讨论函数 y=x^2/3的定义域、奇偶性，并作出它的图象.

最后, 请熟记这三个基本初等函数: 指数函数、对数函数和幂函数的解析式、文中所画图象的形状和性质.

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集合论知识初步

一次函数和二次函数(修改版)

初等数列知识