深入学习决策树算法原理

　　分类技术（或分类法）是一种根据输入数据建立分类模型的系统方法，分类法的例子包括决策分类法，基于规则的分类法，神经网络，支持向量机和朴素贝叶斯分类法。这些技术都使用一种学习算法（learning algorithm）确定分类模型，该模型能够很好的拟合输入数据中类标号和属性集之间的联系，学习算法得到的模型不仅要很好地拟合输入数据，还要能够正确的预测未知样本的类标号。因此，训练算法的主要目标就是建立具有很好泛化能力模型，即建立能够准确的预测未知样本类标号的模型。

　　那我们首先说一下分类与回归的区别。

回归（regression）

　　回归问题的应用场景（预测的结果是连续的，例如预测明天的温度：23,24,25度等等）

　　所以说回归问题通常是用来预测一个值，如预测房价，未来的天气情况等等，例如一个产品的实际价格为500元，通过回归分析预测值为501元，我们认为这是一个比较好的回归分析。一个比较常见的回归算法是线性回归算法（LR）。另外，回归分析用在神经网络上，其最上层是不需要softmax函数的，而是直接对前一层累加即可。回归是对真实值的一种逼近预测。

分类（classification）

　　分类问题的应用场景（预测的结果是离散的，例如预测明天天气：阴，晴，雨等等）

　　例如判断一幅图片上的动物是一只猫还是一只狗，分类通常是建立在回归之上，分类的最后一层通常要使用softmax函数进行判断其所属类别。分类并没有逼近的概念，最终正确结果只有一个，错误的就是错误的，不会有相近的概念。最常见的分类方法是逻辑回归，或者叫逻辑分类。

如何选择模型呢?（我们借助别人的图来选择分类，回归，聚类，降维）

　　决策数(Decision Tree)在机器学习中也是比较常见的一种算法，属于监督学习中的一种。看字面意思应该也比较容易理解，相比其他算法比如支持向量机(SVM)或神经网络，似乎决策树感觉“亲切”许多。

决策树算法思想

　　决策树（decision tree）是一个树结构（可以是二叉树或者非二叉树）。决策树分为分类树和回归树两种，分类树对离散变量做决策树，回归树对连续变量做决策树。

　　其中每个非叶节点表示一个特征属性上的测试，每个分支代表这个特征属性在某个值域上的输出，而每个叶节点存放在一个类别。

　　使用决策树进行决策的过程就是从根节点开始，测试待分类项中相应的特征属性，并按照其值选择输出分支，知道到达叶子节点，将叶子节点存放的类别作为决策结果。

决策树学习算法主要由三部分构成

特征选择

　　特征选择是指从训练数据中众多的特征中选择一个特征作为当前节点的分裂标准，如何选择特征有着很多不同量化评估标准，从而衍生出不同的决策树算法。

决策树生成

　　根据选择的特征评估标准，从上至下递归地生成子节点，直到数据集不可分则停止决策树停止生长。树结构来说，递归结构是最容易理解的方式。

决策树的剪枝

　　决策树容易过拟合，一般来需要剪枝，缩小树结构规则，缓解过拟合，剪枝技术有预剪枝和后剪枝两种。

决策实例一

决策树表示如下（借用周志华老师西瓜书的图）

　　假如我现在告诉你，我买了一个西瓜，它的特点是纹理是清晰，根蒂是硬挺的瓜，你来给我判断一下是好瓜还是坏瓜，恰好，你构建了一颗决策树，告诉他，没问题，我马上告诉你是好瓜，还是坏瓜？

　　判断步骤如下：

　　根据纹理特征，已知是清晰，那么走下面这条路，红色标记：

　　好了，现在到了第二层，这个时候，由决策树的图，我们可以看到，我们需要知道根蒂的特征时什么了？，对时硬挺，于是我们继续走，如下蓝色的图：

　　此时，我们到达叶子结点了，根据上面总结的店，可知，叶子结点代表一种类别，我们从如上决策树中可以知道，这是一个坏瓜！！

　　所以根据上面的例子，非常直观容易的得到了一个实例的类别判断，只要你告诉我各个特征的具体值，决策树的判定过程就相当于树中从跟节点到某一个叶子节点的遍历，每一步如何遍历是由数据各个特征的具体特征属性决定。

　　好了，可能有人要问了，说了这么多，给你训练数据，你的决策树是怎么构建的呢？没有树，谈何遍历，谈何分类？

　　于是构建决策树也就成了最重要的工作！！

　　比如，给我下面的训练数据，我们如何构建出决策树？

　　我们可以从上面的决策树看出，每一次子结点的产生，是由于我在当前层数选择了不同的特征来作为我的分裂因素造成的，比如下面红色三角形表示选择的特征：

　　每一层选择了指定的特征之后，我们就可以继续由该特征的不同属性值进行划分，依次一直到叶子节点。

　　看起来一切很顺利，但是，细心地小伙伴可能会问了，为什么在第一次选择特征分裂的时候，不选择触感呢？而是选择纹理，比如如下：

　　不换成抽干，或者是其他特征呢？为什么选择的是纹理，这是以什么标准来选择特征的？这个问题先留着，让我们再看一个例子

决策实例二

　　一天，老师问了个问题，只根据头发和声音怎么判断一位同学的性别。
　　为了解决这个问题，同学们马上简单的统计了8位同学的相关特征，数据如下：

机智的同学A想了想，先根据头发判断，若判断不出，再根据声音判断，于是画了一幅图，如下：
同学A
　　于是，一个简单、直观的决策树就这么出来了。头发长、声音粗就是男生；头发长、声音细就是女生；头发短、声音粗是男生；头发短、声音细是女生。
　　
　　这时又蹦出个同学B，想先根据声音判断，然后再根据头发来判断，如是大手一挥也画了个决策树：
同学B
　　同学B的决策树：首先判断声音，声音细，就是女生；声音粗、头发长是男生；声音粗、头发长是女生。

　　那么问题来了：同学A和同学B谁的决策树好些？计算机做决策树的时候，面对多个特征，该如何选哪个特征为最佳的划分特征？下面我们就要说一下决策树的特征选择了。

决策树的特征选择

　　划分数据集的大原则是：将无序的数据变得更加有序。

　　我们可以使用多种方法划分数据集，但是每种方法都有各自的优缺点。于是我们这么想，如果我们能测量数据的复杂度，对比按不同特征分类后的数据复杂度，若按某一特征分类后复杂度减少的更多，那么这个特征即为最佳分类特征。
　　Claude Shannon 定义了熵（entropy）和信息增益(information gain)。下面先介绍一下概念：

熵（entropy）

　　在信息论与概率论中，熵（entropy）用于表示“随机变量不确定性的度量”

　　在决策树的算法中，熵是一个非常非常重要的概念，一件事发生的概率越小，我们说它蕴含的信息量越大，比如：我们听到女人怀孕了，是不是不奇怪，但是某天听到那个男人怀孕了，是不是？？？？

　　所以下面我们说一下信息量熵的定义。

　　设X是一个有限状态的离散型随机变量，其概率分布为：

　　则随机变量X的熵定义为：

　　熵越大，则随机变量的不确定性越大。

　　当随机变量只有0和1两种取值的时候，假设P（X=1）=p，则有：

　　从而有：

　　从而可知，当p=0.5时，熵取值最大，随机变量不确定性最大。如图：

条件熵（conditional entropy）

　　随机变量X给定的条件下，Y的条件概率分布的熵对X的数学期望，其数学推导如下：

　　随机变量Y的条件熵H（Y|X）定义为：

　　其中：

　　条件熵H(Y|X)表示在已知随机变量X的条件下随机变量Y的不确定性。注意一下，条件熵中X也是一个变量，意思是在一个变量X的条件下（变量X的每个值都会取到），另一个变量Y的熵对X的期望。

信息增益（information gain）

　　信息增益表示的是：得知特征X的信息而使得类Y的信息的不确定性减少的程度。简单说，就是当我们用另一个变量X对原变量Y分类后，原变量Y的不确定性就会减少了（即熵值减少）。而熵就是不确定性，不确定程度减少了多少其实就是信息增益，这就是信息增益的由来。

　　所以信息增益的具体定义如下：

　　特征A对训练数据集D的信息增益g(D，A）定义为集合D的经验熵H（D）与特征A给定条件下D的经验条件熵H（D/A）之差，即：

　　一般地，熵H(Y)与条件熵H(Y|X)之差成为互信息（mutual information）。

　　根据信息增益准则而进行特征选择的方法是：对训练数据集D，计算其每个特征的信息增益，并比他们大小，从而选择信息增益最大的特征。

　　假设训练数据集为D，样本容量为|D|，由k个类别C_k，|C_k|为类别C_k的样本个数，某一特征A由n个不同的取值a1,a2,a3,.....an。根据特征A的取值可将数据集D划分为n个子集D1，D2.....D_n，|D_i|为D_i的样本个数，并记子集Di中属于类C_k，的样本的集合为D_ik，|D_ik|为D_ik的样本个数。

　　则信息增益的算法如下：

-输入：训练数据集D和特征A
-输出：特征A对训练数据集D的信息增益g(D,A)

（1）计算数据集D的经验熵H(D)。

（2）计算特征A对数据集D的经验条件H（D|A）

（3）计算信息增益

信息增益比（information gain ratio）

　　以信息增益作为特征选择准则，会存在偏向于选择取值较多的特征的问题，可以采用信息增益比对这个问题进行校正。

　　特征A对训练数据集D的信息增益比定义为其信息增益与训练集D关于特征A的值的熵之比，即：

其中：

计算实例二的信息增益值

　　首先计算未分类前的熵，总共有8位同学，男生3位，女生5位。

熵（总）=-3/8*log2(3/8)-5/8*log2(5/8)=0.9544

　　接着分别计算同学A和同学B分类后信息熵。

　　同学A首先按头发分类，分类后的结果为：长头发中有1男3女。短头发中有2男2女。

熵（同学A长发）=-1/4*log2(1/4)-3/4*log2(3/4)=0.8113
熵（同学A短发）=-2/4*log2(2/4)-2/4*log2(2/4)=1
熵（同学A）=4/8*0.8113+4/8*1=0.9057

信息增益（同学A）=熵（总）-熵（同学A）=0.9544-0.9057=0.0487

　　同理，按同学B的方法，首先按声音特征来分，分类后的结果为：声音粗中有3男3女。声音细中有0男2女。

熵（同学B声音粗）=-3/6*log2(3/6)-3/6*log2(3/6)=1
熵（同学B声音粗）=-2/2*log2(2/2)=0
熵（同学B）=6/8*1+2/8*0=0.75

信息增益（同学B）=熵（总）-熵（同学A）=0.9544-0.75=0.2087

　　按同学B的方法，先按声音特征分类，信息增益更大，区分样本的能力更强，更具有代表性。
以上就是决策树ID3算法的核心思想。

代码如下：

from math import log
import operator# 计算数据的熵（entropy）
def calcShannonRnt(dataSet):# 数据条数，计算数据集中实例的总数numEntries = len(dataSet)labelCounts = {}for featVec in dataSet:# 每行数据的最后一个类别（也就是标签）currentLable = featVec[-1]if currentLable not in labelCounts.keys():labelCounts[currentLable] = 0# 统计有多少个类以及每个类的数量labelCounts[currentLable]  += 1shannonEnt = 0.0for key in labelCounts:# 计算单个类的熵值prob = float(labelCounts[key]) / numEntries# 累加每个类的熵值shannonEnt -= prob * log(prob , 2)return shannonEnt# 创建数据集
def createDataSet():dataSet = [['Long', 'Think', 'male'],['Short', 'Think', 'male'],['Short', 'Think', 'male'],['Long', 'Thin', 'female'],['Short', 'Thin', 'female'],['Short', 'Think', 'female'],['Long', 'Think', 'female'],['Long', 'Think', 'female']]labels = ['hair', 'voice']return dataSet,labels# 按照给定特征划分数据集
def splitDataSet(dataSet,axis,value):''':param dataSet: 待划分的数据集:param axis: 划分数据集的特征:param value: 特征的返回值:return:'''retDataSet = []for featVec in dataSet:# 如果发现符合要求的特征，将其添加到新创建的列表中if featVec[axis] == value:reduceFeatVec = featVec[:axis]reduceFeatVec.extend(featVec[axis+1:])retDataSet.append(reduceFeatVec)return retDataSet# 选择最好的数据集划分方式
def chooseBestFeatureTpSplit(dataSet):'''此函数中调用的数据满足以下要求1，数据必须是一种由列表元素组成的列表，而且所有列表元素都要具有相同的数据长度2，数据的最后一列或者实例的最后一个元素是当前实例的类别标签:param dataSet::return:'''numFeatures = len(dataSet[0]) - 1# 原始的熵baseEntropy = calcShannonRnt(dataSet)bestInfoGain = 0.0bestFeature = -1for i in range(numFeatures):# 创建唯一的分类标签列表featList = [example[i] for example in dataSet]uniqueVals = set(featList)newEntropy = 0.0for value in uniqueVals:# 计算每种划分方式的信息熵，并对所有唯一特征值得到的熵求和subDataSet = splitDataSet(dataSet,i,value)prob = len(subDataSet)/float(len(dataSet))# 按照特征分类后的熵newEntropy += prob * calcShannonRnt(subDataSet)infoGain = baseEntropy - newEntropyif (infoGain > bestInfoGain):# 计算最好的信息增益,信息增益越大，区分样本的能力越强，根据代表性bestInfoGain = infoGainbestFeature = ireturn bestFeature# 按照分类后类别数量排序
def majorityCnt(classList):classCount = {}for vote in classList:if vote not in classCount.keys():classCount[vote] = 0classCount[vote] += 1sortedClassCount = sorted(classCount.items(),key=operator.itemgetter(1),reverse=True)return sortedClassCount[0][0]# 创建树的函数代码
def createTree(dataSet,labels):''':param dataSet:  输入的数据集:param labels:  标签列表（包含了数据集中所有特征的标签）:return:'''# classList 包含了数据集中所有类的标签classList = [example[-1] for example in dataSet]# 类别完全相同则停止继续划分if classList.count(classList[0]) == len(classList):return classList[0]# 遍历完所有特征时返回出现次数最多的if len(dataSet[0])  == 1:return majorityCnt(classList)bestFeat = chooseBestFeatureTpSplit(dataSet)bestFeatLabel = labels[bestFeat]# 字典myTree存储了树的所有信息，这对于后面绘制树形图很重要myTree = {bestFeatLabel:{}}del(labels[bestFeat])# 得到列表包含的所有属性值featValues = [example[bestFeat] for example in dataSet]uniqueVals = set(featValues)for value in uniqueVals:subLabels =labels[:]myTree[bestFeatLabel][value] = createTree(splitDataSet(dataSet,bestFeat,value),subLabels)return myTreeif __name__ == '__main__':myData,labels = createDataSet()print(myData)print(labels)myTree = createTree(myData,labels)print(myTree)'''
[['Long', 'Think', 'male'], ['Short', 'Think', 'male'], ['Short', 'Think', 'male'], ['Long', 'Thin', 'female'], ['Short', 'Thin', 'female'], ['Short', 'Think', 'female'], ['Long', 'Think', 'female'], ['Long', 'Think', 'female']]
['hair', 'voice']
{'voice': {'Think': {'hair': {'Long': 'female', 'Short': 'male'}}, 'Thin': 'female'}}
'''

　　这个结果的意思是：首先按声音分类，声音细为女生；然后再按头发分类：声音粗，头发短为男生；声音粗，头发长为女生。
　　这个结果也正是同学B的结果。

　　使用Python中Matplotlib绘图如下（可以看出与B同学的结果一模一样）：

代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt# 定义文本框和箭头格式（树节点格式的常量）
decisionNode = dict(boxstyle='sawtooth',fc='0.8')
leafNode = dict(boxstyle='round4',fc='0.8')
arrows_args = dict(arrowstyle='<-')# 绘制带箭头的注解
def plotNode(nodeTxt,centerPt,parentPt,nodeType):createPlot.ax1.annotate(nodeTxt,xy=parentPt,xycoords='axes fraction',xytext=centerPt,textcoords='axes fraction',va='center',ha='center',bbox=nodeType,arrowprops=arrows_args)# 在父子节点间填充文本信息
def plotMidText(cntrPt,parentPt,txtString):xMid = (parentPt[0] - cntrPt[0]) / 2.0 + cntrPt[0]yMid = (parentPt[1] - cntrPt[1]) / 2.0 + cntrPt[1]createPlot.ax1.text(xMid,yMid,txtString, va="center", ha="center", rotation=30)def plotTree(myTree,parentPt,nodeTxt):# 求出宽和高numLeafs = getNumLeafs(myData)depth = getTreeDepth(myData)firstStides = list(myTree.keys())firstStr = firstStides[0]# 按照叶子结点个数划分x轴cntrPt = (plotTree.xOff + (0.1 + float(numLeafs)) /2.0/plotTree.totalW,plotTree.yOff)plotMidText(cntrPt,parentPt,nodeTxt)plotNode(firstStr,cntrPt,parentPt,decisionNode)secondDict = myTree[firstStr]# y方向上的摆放位置 自上而下绘制，因此递减y值plotTree.yOff = plotTree.yOff - 1.0/plotTree.totalDfor key in secondDict.keys():if type(secondDict[key]).__name__  == 'dict':plotTree(secondDict[key],cntrPt,str(key))else:plotTree.xOff = plotTree.xOff + 1.0 / plotTree.totalW  # x方向计算结点坐标plotNode(secondDict[key], (plotTree.xOff, plotTree.yOff), cntrPt, leafNode)  # 绘制plotMidText((plotTree.xOff, plotTree.yOff), cntrPt, str(key))  # 添加文本信息plotTree.yOff = plotTree.yOff + 1.0 / plotTree.totalD  # 下次重新调用时恢复ydef myTree():treeData = {'voice': {'Think': {'hair': {'Long': 'female', 'Short': 'male'}}, 'Thin': 'female'}}return treeData# 获取叶子节点的数目
def getNumLeafs(myTree):# 初始化结点数numLeafs = 0firstSides = list(myTree.keys())# 找到输入的第一个元素，第一个关键词为划分数据集类别的标签firstStr = firstSides[0]secondDect = myTree[firstStr]for key in secondDect.keys():# 测试节点的数据类型是否为字典if type(secondDect[key]).__name__ == 'dict':numLeafs += getNumLeafs(secondDect[key])else:numLeafs +=1return numLeafs# 获取树的层数
def getTreeDepth(myTree):maxDepth = 0firstSides = list(myTree.keys())firstStr = firstSides[0]secondDict = myTree[firstStr]for key in secondDict.keys():# 测试节点的数据类型是否为字典if type(secondDict[key]).__name__ == 'dict':thisDepth = 1 + getTreeDepth(secondDict[key])else:thisDepth = 1if thisDepth > maxDepth:maxDepth = thisDepthreturn maxDepth# 主函数
def createPlot(inTree):# 创建一个新图形并清空绘图区fig = plt.figure(1,facecolor='white')fig.clf()axprops = dict(xticks=[], yticks=[])createPlot.ax1 = plt.subplot(111, frameon=False, **axprops)  # no ticks# createPlot.ax1 = plt.subplot(111, frameon=False) #ticks for demo puropsesplotTree.totalW = float(getNumLeafs(inTree))plotTree.totalD = float(getTreeDepth(inTree))plotTree.xOff = -0.5 / plotTree.totalWplotTree.yOff = 1.0plotTree(inTree, (0.5, 1.0), '')plt.show()if __name__ == '__main__':myData  = myTree()myData['voice'][3] = 'maybe'print(myData)# LeafNum = getNumLeafs(myData)# TreeDepth = getTreeDepth(myData)# print(LeafNum)# print(TreeDepth)createPlot(myData)

　　补充说明：判定分类结束的依据是，若按某特征分类后出现了最终类（男或女），则判定分类结束。使用这种方法，在数据比较大，特征比较多的情况下，很容易造成过拟合，于是需进行决策树枝剪，一般枝剪方法是当按某一特征分类后的熵小于设定值时，停止分类。

决策树的生成算法介绍

　　划分数据集的最大原则是：使无序的数据变的有序。如果一个训练数据中有20个特征，那么选取哪个做划分依据？这就必须采用量化的方法来判断，量化划分方法有多重，其中一项就是“信息论度量信息分类”。基于信息论的决策树算法有ID3、CART和C4.5等算法，其中C4.5和CART两种算法从ID3算法中衍生而来。

　　决策树的生成算法由很多变形，这里简单说一下几种经典的实现算法：ID3算法，C4.5算法和CART算法。这些算法的主要区别在于分类结点熵特征选择的选取标准不同，下面了解一下算法的具体实现过程。