动态规划--重拾我的“背包”

前言：

　　背包问题所涉及的是经典的动态规划算法。因为长时间不AC了，渐渐感觉思维也都麻了！本文将基础的背包问题做个小结，方便以后翻阅。感兴趣的朋友也可以阅读一下~
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（1）如何从n个重量和价值分别为Vi、Wi的物品中选择一或多个放入最大容纳量为S的背包使其总价值最大？

输入：

5 10   （分别表示：n,S）
2 3
7 5
3 1
5 10
2 2

5 6
2 3
7 5
3 1
5 10
2 2

输出：

15

10

分析：
f[i][j]：表示背包在存放了前i件物品占据j重量时的价值
其中，1<=i<=n,0<=j<=S;

当我到达某一个状态，需要选择是否将第i件物品放入我的背包时，必须考虑值不值的问题，即：
f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1]][j-w[i]]+v[i]);

理解了上面的状态转移方程之后,就可以方便得出下面的伪代码了：

　　f[0...n][0...S] <- 0 //初始化
　　for i<-1:n
　　　　for j<-w[i]:S
　　　　　　f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1]][j-w[i]]+v[i]); //状态转移

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e3+10;
int f[maxn][maxn];
int main(){
    //数据从文件读入
    freopen("datain.txt","r",stdin);
    int n,S,a,b;
    while(scanf("%d%d",&n,&S)==2){
        memset(f,0,sizeof(f));
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d%d",&a,&b);
            for(int v=1;v<=S;v++){
                if(v>=a)        //do not neglect 'v<a'
                    f[i][v] = max(f[i-1][v],f[i-1][v-a]+b);
                else
                    f[i][v] = f[i-1][v];
            }
        }
        printf("%d\n",f[n][S]);
    }
    return 0;
}

以上算法的时间复杂度、空间复杂度均为：O(n*S)

f[i][j]的变化过程：

-----------------------------

|   0 3 3 3 3 3 3 3 3 3           |

|   0 3 3 3 3 3 5 5 8 8           |
|   0 3 3 3 4 4 5 5 8 8           |  
|   0 3 3 3 10 10 13 13 13 14 |
|   0 3 3 5 10 10 13 13 15 15 |

-----------------------------

 

在深入理解了状态转移方程之后，我们其实还可以对空间进行优化，仅用f[i]表示：背包质量达到i是获得的价值。对应的伪代码如下：

　　f[0...S]<-0
　　for i<-1:n
　　　　for j<-S:w[i] //从右往左更新！
　　　　　　f[j] = max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);

对空间进行优化后的代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e3+10;
int f[maxn];
int main(){
    freopen("datain.txt","r",stdin);
    int n,S,a,b;
    while(scanf("%d%d",&n,&S)==2){
        memset(f,0,sizeof(f));
        for(int i=0;i<n;i++){
            scanf("%d%d",&a,&b);
            for(int v=S;v>=a;v--){
                f[v] = max(f[v],f[v-a]+b);
            }
        }
        printf("%d\n",f[S]);
    }
    return 0;
}

 

（2）如何从n个重量和价值分别为Vi、Wi的物品中选择一或多个放入最大容纳量为S的背包在背包刚好装满情况下，使其总价值最大？

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e3+10;
int f[maxn];
int main(){
    freopen("datain.txt","r",stdin);
    int n,S,a,b;
    while(scanf("%d%d",&n,&S)==2){
        for(int i=1;i<=S;i++) f[i]=-0xfffffff;   //最小的int
        f[0]=0;
        for(int i=0;i<n;i++){
            scanf("%d%d",&a,&b);
            for(int v=S;v>=a;v--){
                f[v] = max(f[v],f[v-a]+b);
            }
        }
        printf("%d\n",f[S]);
    }
    return 0;
}

输入：

5 10   （分别表示：n,S）
2 3
7 5
3 1
5 10
2 2

输出：14

（3）如何从n种（每种无限个）重量和价值分别为Vi、Wi的物品中选择一或多个放入最大容纳量为S的背包使其总价值最大？

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e3+10;
int f[maxn];
int main(){
    freopen("datain.txt","r",stdin);
    int n,S,a,b;
    while(scanf("%d%d",&n,&S)==2){
        memset(f,0,sizeof(f));
        for(int i=0;i<n;i++){
            scanf("%d%d",&a,&b);
            for(int v=a;v<=S;v++){
                f[v] = max(f[v],f[v-a]+b);
            }
        }
        printf("%d\n",f[S]);
    }
    return 0;
}

输入:

5 6
2 3
7 5
3 1
5 10
2 2

输出:10

（4）如何从n种（每种无限个）重量和价值分别为Vi、Wi的物品中选择一或多个放入最大容纳量为S的背包在背包刚好装满情况下，使其总价值最大？

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e3+10;
int f[maxn];
int main(){
    freopen("datain.txt","r",stdin);
    int n,S,a,b;
    while(scanf("%d%d",&n,&S)==2){
        for(int i=0;i<=S;i++) f[i]=-0xfffffff;
        f[0]=0;
        for(int i=0;i<n;i++){
            scanf("%d%d",&a,&b);
            for(int v=a;v<=S;v++){
                f[v] = max(f[v],f[v-a]+b);
            }
        }
        printf("%d\n",f[S]);
    }
    return 0;
}

输入：

5 6
2 3
7 5
3 1
5 10
2 2

输出：9

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结语：
本文限于篇幅就只是对最最基本的01背包问题作了个人的分析，后面的3个扩展只贴代码，希望感兴趣的朋友们可以旁击侧敲吧~有问题或独特见解的博友请留言~