今天继续学习排序算法。今天的主角是快速排序算法。

1. 快速排序基本原理

快速排序是C.R.A.Hoare于1962年提出的一种划分交换排序。它采用了一种分治的策略，通常称其为分治法(Divide-and-ConquerMethod)。

该方法的基本思想是：

1．先从数列中取出一个数作为基准数。

2．分区过程，将比这个数大的数全放到它的右边，小于或等于它的数全放到它的左边。

3．再对左右区间重复第二步，直到各区间只有一个数。

举例说明：

这里有一个待排序的序列：a=[72 6 57 88 60 42 83 73 48 85]

按照以上的思想，手动操作了一次这个思想：

上面的过程就是一次排序，将所有的小于选定的数全部放在了左边，全部大于选定的数放在了其右边。然后再分别对这两边的子序列进行相同的操作。知道最后需要操作的子序列中只有一个数。再排序结束。

2.MATLAB 实现

依据上面的思想对其进行代码实现。显然，对待子序列的操作最好就是使用过递归进行。

自定义快速排序函数 myQuickSort

function a=myQuickSort(a,leftIndex,rightIndex)
% a是待排序序列
%leftIndex和rightIndex是开始的左右两个边界
%%----------------------------------------------------------%%
% if leftIndex>rightIndex
%     break;
% end
if leftIndex<rightIndexi=leftIndex;j=rightIndex;temp=a(i);%选定的这个数挖掉，相当于挖坑while i<jwhile (i<j)&&(a(j)>=temp)%从右往左，找到第一个小于设定的数，j=j-1;enda(i)=a(j);%将找到的第一个小于设定的数填坑到最开始挖的坑里面去while (i<j)&&(a(i)<=temp)%从做到由，找到第一个大于选定的数i=i+1;enda(j)=a(i);%将找到的第一个大于选定的数填入上一步挖的坑里面去
%     if i==j
%         a(j)=temp;
%     endenda(j)=temp;%最后，i=j，将选定的数再填到上一步挖的坑里面去a=myQuickSort(a,leftIndex,j-1);%对左边序列进行递归a=myQuickSort(a,i+1,rightIndex);%对右边序列进行递归
end
end

测试函数

clc
clear
close alla=[72 6 57 88 60 42 83 73 48 85];
leftIndex=1;
rightIndex=size(a,2);disp('未排序的序列为：')
disp(a)a=myQuickSort(a,leftIndex,rightIndex);disp('快速排序之后的序列为：')
disp(a)

程序的输出为：

未排序的序列为：72     6    57    88    60    42    83    73    48    85快速排序之后的序列为：6    42    48    57    60    72    73    83    85    88

可以看出来，效果还不错。
再换一个有相同元素的序列试试：

    72     6    57    88    60    42    83    73    48    85     6快速排序之后的序列为：6     6    42    48    57    60    72    73    83    85    88

排序正确！！！

3.Python实现

#定义一个输出函数，将序列分成两部分的那个元素的索引
def findMiddleIndex(a,left,right):if left<right:i=leftj=righttemp=a[i]while i<j:while i<j and a[j]>=temp:j-=1a[i]=a[j]while i<j and a[i]<=temp:i+=1a[j]=a[i]a[j]=tempmiddleIndex=ireturn middleIndex
#定义快速排序函数
def myQuickSort(a,left,right):if left<right:middleIndex=findMiddleIndex(a,left,right)myQuickSort(a,left,middleIndex-1)myQuickSort(a,middleIndex+1,right)return a    
#测试部分
if __name__=='__main__':
#生成随机序列import randoma=[]aSize=a.__len__()while 1:aSize=a.__len__()if aSize>=20:breakelse:temp=int(random.randint(1,1000))a.append(temp)left=0right=a.__len__()-1print(myQuickSort(a,left,right))

排序正确！！！

4.快速排序算法的时间复杂度分析

已知递归算法的时间复杂度公式为：$T(n)=aT[\frac{n}{b}]+f(n)$

最优时间复杂度是每次选定的数正好可以将序列分为一半，那么，就可以有：
第一次递归：

$$T(n)=2T[\frac{n}{2}]+n$$
第二次递归： $n=\frac{n}{2}$ $$T(n)=2\{2T[\frac{n}{2\times2}]+\frac{n}{2}\}+n$$ $$=2^2T[\frac{n}{2^2}]+2n$$
第三次递归： $n=\frac{n}{2\times2}$ $$T(n)=2\{2\{2T[\frac{n}{2\times2 \times2}]+\frac{n} {2\times2}\}+\frac{n}{2}\}+n$$
$$=2^3T[\frac{n}{2^3}]+3n$$
$\vdots$

$\vdots$

$\vdots$

第$m$次递归（假定此时递归结束）：$n=\frac{n}{2^{m-1}}$

$$T(n)=2^mT[1]+mn$$
也就是说：
$$T[\frac{n}{2^m}]=T[1]$$ 所以有：
$$2^m=n\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow m=log_2n$$
所以，
$$T(n)=nT[1]+nlog_2n=n+nlog_2n$$
当 $n>=2$时， $$log_2n>=1\Rightarrow \Rightarrow nlog_1n>=n$$
所以其时间复杂度最终为：
$$T(n)=nlog_2n$$