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一、时间复杂度

一个语句的频度是指该语句在算法中被重复执行的次数。算法中所有语句的频度之和记为T(n)，它是该算法问题规模n的函数，时间复杂度主要分析T(n)的数量级。算法中基本运算（最深层循环内的语句）的频度与T(n)同数量级，因此通常采用算法中基本运算的频度f(n)来分析算法的时间复杂度。因此，算法的时间复杂度记为T(n)=O(f(n))。

式中，O的含义是T(n)的数量级，其严格的数学定义是：若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则存在正常数C和n0，使得当n>=n0时，都满足0<=T(n)<=Cf(n)。

算法的时间复杂度不仅依赖于问题的规模n，也取决于待输入数据的性质。例如，在数组A[0…n-1]中，查找给定值k的算法大致如下：

int i=n-1;
while(i>=0&&(A[i]!=k))i--;
return i;	

该算法中语句i--;（基本运算）的频度不仅与问题规模n有关，还与输入实例中A的各元素的取值以及k的取值有关：
①若A中没有与k相等的元素，则语句3的频度f(n)=n。
①若A中最后一个元素为k，则语句3的频度f(n)=0。

最坏时间复杂度是指在最坏情况下，算法的时间复杂度。平均时间复杂度是指所有可能输入实例在等概率出现的情况下，算法的期望运行时间。最好时间复杂度是指在最好情况下，算法的时间复杂度。一般总是考虑在最坏情况下的时间复杂度，以保证算法的运行时间不会比它更长。

在分析一个程序的时间复杂性时，有以下两条规则：
①加法规则

T(n)=T1(n)+T2(n)=O(f(n))+O(g(n))=O(max(f(n),g(n)))

②乘法规则

T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n))

常见的渐近时间复杂度为：

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n*n)<O(n*n*n)<O(2的n方)<O(n!)<O(n的n方)

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二、空间复杂度

算法的空间复杂度S(n)定义为该算法所耗费的存储空间，它是问题规模n的函数。记为S(n)=O(g(n))。

一个程序在执行时除需要存储空间来存放本身所用的指令、常数、变量和输入数据外，还需要一些对数据进行操作的工作单元和存储一些为实现计算所需信息的辅助空间。若输入数据所占空间只取决于问题本身，和算法无关，则只需分析除输入和程序之外的额外空间。

算法原地工作是指算法所需的辅助空间为常量，即O(1)。

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三、相关题目

1 以下算法的时间复杂度为（O(log2n)）

void fun(int n){int i=1;while (i<=n)i=i*2;
}

解析：找到基本运算i=i*2，设执行次数为t，则2的t次方<=n，即t<=log2n，因此时间复杂度T(n)=O(log2n)。

2 有以下算法，其时间复杂度为（O(n的根号3方)）

void fun(int n){int i=0;while (i*i*i<=n)i++;
}

解析：基本运算为i++，设执行次数为t，有ttt<=n，即t的3次方<=n，则t<=n的根号3次方。

3 程序段如下：

for(int i= n-1; i > 1; i--)for (int j = 1; j < i; j++) if(A[j]>A[j+1])A[j]与A[j+1]对换;

其中n为正整数，则最后一行语句的频度在最坏情况下是（O(n*n)）
解析：

4 【2011统考真题】设n是描述问题规模的非负整数，下面的程序片段的时间复杂度是（O(log2n)）

x=2;
while(x<n/2)x=2*x;

解析：基本运算为x=2*x，每执行一次乘以2，设执行次数为t，则有2的（t+1）次方<n/2，所以t<log2(n/2)-1=log2n-2，则T(n)=O(log2n)。

5 【2012统考真题】求整数n的阶乘的算法如下，其时间复杂度是（O(n)）

int fact(int n){if(n<=1) return 1;return n* fact(n-1);
}

解析：该递归相当于返回O(n)次。

6 【2013统考真题】已知两个长度分别为m和n的升序链表，若将它们合并为长度为m+n的一个降序链表，则最坏情况下的时间复杂度是（O(max(m,n))）
解析：两个升序链表合并，两两比较表中元素，每比较一次，确定一个元素的链接位置（取较小元素）。当一个链表比较结束后，将另一个链表的剩余元素插入即可。最坏的情况是两个链表中的元素依次进行比较，因为2max(m,n)>=m+n，所以时间复杂度为O(max(m,n))。

7 【2014统考真题】下列程序段的时间复杂度是（nlong2n）

count=0;
for(k=1;k<=n;k*=2)for(j=1;j<=n;j++)count++;

解析：内层循环条件j<=n与外层循环的变量无关，各自独立，每执行一次j自增1，每次内层循环都执行n次。外层循环条件k<=n，增量定义为k*=2，可知循环次数t满足k=2的t次方<=n，即t<=log2n。内层循环的时间复杂度为O(n)，外层为O(log2n)。对于嵌套循环，根据乘法法则可知，T(n)=O(n)*O(log2n)=O(nlog2n)。