第十二届蓝桥杯Java省赛A组试题：异或数列

【题目描述】
初始时，Alice和Bob分别有一个整数a和b，有一个给定的长度为n的数列。a和b的初始值均为0。Alice和Bob轮流操作，Alice先手，每步可以从两个选项中选一种：
选项1：从数列中选一个X;给Alice的数异或上。
选项2：从数列中选一个X;给Bob的数异或上。
每个数Xi只能用一次，当每个数都被用过一遍后，游戏结束。拥有数大的一方获胜，双方数字相同即平局。
双方都足够聪明，都采用最优策略，问谁能获胜？

【输入格式】
每个评测用例包含多组询问。询问之间彼此独立。
输入的第一行包含一个整数T，表示询问数。
接下来T行每行包含一组询问。其中第i行的第一个整数n；表示数列长度，随后n个整数X1, X2,… Xm表示数列中的每个数。

【输出格式】
输出T行，依次对应每组询问的答案。
每行包含一个整数1、0或-1分别表示Alice胜、平局或败。

【样例输入】
4
1 1
1 0
2 2 1
7 992438 1006399 781139 985280 4729 872779 563580

【样例输出】
1
0
1
1

【评测用例规模与约定】
对于所有评测用例，1 ≤ T ≤ 200000，1 ≤ ∑Ti=1 ni ≤ 200000，0 ≤ Xi < 220。

【解题思路】
借鉴：该博客

首先明确，为什么给定一个数列，游戏的结局是确定的呢？
A赢的意思是：A能采取某种策略，不管B作何应对，A保证自己一定能赢；
B赢的意思是：B能采取某种策略，不管A作何应对，B保证自己一定能赢；
对于异或：0^X ——保持X ； 1^X——翻转X；
偶数次翻转将回到原来的状态，即与偶数个1异或将保持不变。

最后两个结果数A^B = a^b^sum ，其中sum为给定数列所有数的异或和，sum = X1^X2^...Xni，所以如果是平局（即A = B），则A^B=0（即 sum = 0）。

现在考虑sum != 0时，因为是按位异或，并且最后比较A和B两值的大小，所以要从二进制的最高位开始比较，如果最高位相等，比较次高位，以此往下比较，直到可以判断出结果。

用一个int型数组res[i]表示二进制的第i位上1的个数，如果某一位的res[i]为奇数，即该位上有奇数个1与a和b异或，比如有5个1，因为0不会改变状态,其（a,b）的状态转移过程一定是:（0，0）->翻转->平局->翻转->平局->翻转，也就是说在平局不管是（0，0）或（1，1）的基础上，Alice 和 Bob谁拥有最后一次翻转权（也就是最后一个1），谁就赢得游戏！

那怎么让最后一个1轮到自己身上？就要用到0了，因为0不会改变数的大小，但相当于让自己“轮空一次”。还是考虑上面5个1的情况：如果在最后一次翻转之前（不管在什么位置）插入偶数个0，则最后一次1的翻转权来到了先手 Alice，则先手胜出；如果在最后一次翻转之前（不管在什么位置）插入奇数个0，则最后一次1的翻转权来到了后手 Bob，则后手胜出。

因为Alice和Bob都“足够聪明”，面对奇数个1，Bob一定要去“ 抢0 ”，自己才有一线生机，而Alice也要以“ 抢0 ”来作应对，让最后一次翻转权回到自己手里，因为0的个数有限，最后决定胜负的就是0个数的奇偶性。

因此，如果某一位的res[i]为偶数，则游戏结果的这一位一定相等，考虑下一位；如果第i位上1的个数为 1，则一定是先手赢（输出：“1”）；如果第i位上1的个数为大于1的奇数，0的个数为偶数，则先手赢（输出：“1”）；如果第i位上1的个数为大于1的奇数，0的个数为奇数，则后手赢（输出：“-1”）。

Java代码：

import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();//该ArrayList用来暂存每次询问结果，待最后一次询问结束再统一输出ArrayList<Integer> res = new ArrayList<>();//n次询问for (int i = 0; i < n; i++) {int[] weis = new int[24]; //该数组用于存储二进制形式下每一位1的数量int m = scanner.nextInt();//长度为m的数列转为二进制并处理for (int j = 0; j < m; j++) {long l = scanner.nextLong();String string = Long.toBinaryString(l); //转为二进制String reStr = new StringBuilder(string).reverse().toString(); //反转，即高低位反转，便于存储与后面处理//判断二进制形式下每一位是否为1for (int k = 0; k < reStr.length(); k++) {if (reStr.charAt(k) == '1') weis[k]++;}}//对每次询问后每一位中1的个数判断从而得到结果，并将结果先暂时存储在ArrayList-res中for (int j = weis.length - 1; j >= 0; j--) {if (weis[j] % 2 == 0 && j == 0) {res.add(0);break;}else if (weis[j] % 2 == 0){continue;}if (weis[j] == 1){res.add(1);break;}else if (weis[j] % 2 == 1 && (m - weis[j]) % 2 == 0){res.add(1);break;}else if (weis[j] % 2 == 1 && (m - weis[j]) % 2 == 1){res.add(-1);break;}}}//输出结果for (int x : res){System.out.println(x);}}
}