说明：接上一节循环自相关函数和谱相关密度（一）——公式推导

7 BPSK信号谱相关密度函数

7.1 实信号模型

BPSK实信号表达式可以写为

$r(t)=y(t)+n(t)$

$=s(t)p(t)+n(t)$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a(nT)q(t-nT-t_0)\cos (2\pi f_{0}t+\theta )\text{ + }n(t)$(22)

其中，$t_0$为起始时间，$T$为符号速率，$a(n)$为基带符号序列，$f_0$为载波频率，$\theta$为初始相位，$n(t)$为高斯白噪声，$q(t)$为矩形脉冲，其表达式和傅里叶变换为

$q(t)=\{\begin{array}{ll}1,& |t|\le T/2\\ 0,& |t|>T/2\end{array}$ (23)

$Q(f)=T\mathrm{Sa}(\pi fT)$ (24)

且

$s(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a(nT)q(t-nT-t_0)$

$=q(t-t_0)\otimes \sum _{n}a(t)\delta (t-nT)$

$=q(t-t_0)\otimes \hat{a}(t)$ (25)

$p(t)=\cos (2\pi f_{0}t+\theta )$ (26)

由(21)知，基带脉冲序列$a(nT)$的谱相关密度函数为

${\tilde{S}}_a^{\alpha }(f)=\frac{1}{T}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{m=-\infty }^{\infty }{S}_a^{\alpha \text{ + }m/T}(f-\frac{m}{2T}-\frac{n}{T})$ (27)

由(19)可知，$a(t)$以周期$T$理想抽样后的谱相关密度函数为

$S_{\hat{a}}^{\alpha }(f)=\frac{1}{T^2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{m=-\infty }^{\infty }{S}_{\hat{a}}^{\alpha \text{ + }m/T}(f-\frac{m}{2T}-\frac{n}{T})$ (28)

根据傅里叶变换的时移性质，$q(t-t_0)$的傅里叶变换为$Q(f)e^{-j2\pi f{t}_0}$，则(5)由可得$s(t)$的谱相关密度函数为

$S_s^{\alpha }(f)=\frac{1}{T}Q(f+\alpha /2)Q^{\ast }(f-\alpha /2)e^{-j2\pi \alpha t_0}{\tilde{S}}_a^{\alpha }(f)$ (29)

考虑$p(t)$的二次变换

$v_{\tau }(t)=p(t\text{ + }\tau /2)p^{\ast }(t-\tau /2)$

$=\frac{1}{4}(e^{j2\pi f_0\tau }+e^{-j2\pi f_0\tau }+e^{j(4\pi f_{0}t+2\theta )}+e^{-j(4\pi f_{0}t+2\theta )})$ (30)

其Fourier级数系数为

${⟨v_{\tau }(t)e^{-j2\pi \alpha t}⟩}_t=\frac{1}{4}{e}^{j2\pi f_0\tau }{⟨e^{-j2\pi \alpha t}⟩}_t+\frac{1}{4}{e}^{-j2\pi f_0\tau }{⟨e^{-j2\pi \alpha t}⟩}_t$

$+\frac{1}{4}{e}^{-j2\theta }{⟨e^{-j2\pi (\alpha +2f_0)t}⟩}_t+\frac{1}{4}{e}^{j2\theta }{⟨e^{-j2\pi (\alpha -2f_0)t}⟩}_t$(31)

则$p(t)$的循环自相关函数和谱相关密度函数为

$R_p^{\alpha }(\tau )=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{4}{e}^{\pm j2\theta }& \alpha =\pm 2f_0\\ \frac{1}{2}\cos \left(2\pi f_0\tau \right)& \alpha =0\\ 0& \text{ otherwise }\end{array}$(32)

$S_p^{\alpha }(f)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{4}{e}^{\pm j2\theta }\delta (f)& \alpha =\pm 2f_0\\ \frac{1}{4}\left[\delta \left(f+f_0\right)+\delta \left(f-f_0\right)\right]& \alpha =0\\ 0& \text{ otherwise }\end{array}$(33)

由(12)、(13)得$y(t)$的循环自相关函数为

$R_y^{\alpha }(\tau )=\sum _{\beta }{R}_p^{\beta }(\tau )R_s^{\alpha -\beta }(\tau )$

$=\frac{1}{4}{e}^{j2\theta }{R}_s^{\alpha -2f_0}(\tau )+\frac{1}{4}{e}^{-j2\theta }{R}_s^{\alpha +2f_0}(\tau )+\frac{1}{2}\cos (2\pi f_0\tau )R_s^{\alpha }(\tau )$ (34)

$S_y^{\alpha }(f)=\sum _{\beta }{S}_p^{\beta }(f)\otimes S_s^{\alpha -\beta }(f)$

$=\frac{1}{4}\left[S_s^{\alpha }(f+f_0)+S_s^{\alpha }(f-f_0)+e^{j2\theta }{S}_s^{\alpha -2f_0}(f)+e^{-j2\theta }{S}_s^{\alpha +2f_0}(f)\right]$ (35)

将(29)代入(35)，得$y(t)$的谱相关密度函数为

Syα(f)=14T{[Q(f+f0+α/2)Q∗(f+f0−α/2)S~aα(f+f0)S_y^\alpha (f) = \frac{1}{{4T}}\{ [Q(f + {f_0} + \alpha /2){Q^*}(f + {f_0} - \alpha /2)\tilde S_a^\alpha (f + {f_0})Syα​(f)=4T1​{[Q(f+f0​+α/2)Q∗(f+f0​−α/2)S~aα​(f+f0​)

$Q(f-f_0+\alpha /2)Q^{\ast }(f-f_0-\alpha /2){\tilde{S}}_a^{\alpha }(f-f_0)]e^{-j2\pi \alpha t_0}$

$Q(f+f_0+\alpha /2)Q^{\ast }(f-f_0-\alpha /2){\tilde{S}}_a^{\alpha +2f_0}(f)e^{-j[2\pi (\alpha +2f_0)t_0+2\theta ]}$

$Q(f-f_0+\alpha /2)Q^{\ast }(f+f_0-\alpha /2){\tilde{S}}_a^{\alpha -2f_0}(f)e^{-j[2\pi (\alpha -2f_0)t_0-2\theta ]}\}$ (36)

对于01先验等概的基带符号序列$a(n)$，其循环自相关函数为

${\tilde{R}}_a^{\alpha }(kT)=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{n=-N}^{N}a(nT+kT)a(nT)e^{-j2\pi \alpha (n+k/2)T}$ (37)

当且仅当$k=0$且$\alpha =m/T$时，${\tilde{R}}_a^{\alpha }(kT)={\tilde{R}}_a(0)$，则其谱相关密度函数为

${\tilde{S}}_a^{\alpha }(f)=\{\begin{array}{rl}{\tilde{R}}_a(0)=1,& \alpha =m/T\\ 0,& \alpha \ne m/T\end{array}$(38)

对于高斯白噪声$n(t)$，当且仅当$\alpha =0$时，其谱相关密度函数不为零，则BPSK实信号的谱相关密度函数为

$S_r^{\alpha }(f)=\{\begin{array}{cc}{S}_y^{\alpha }(f)+S_n^{\alpha }(f),& \alpha =0\\ S_y^{\alpha }(f),& \alpha \ne 0\end{array}$(39)

由此可见，噪声$n(t)$只影响循环频率为零时的截面。

7.2 复信号模型

BPSK复信号表达式可以写为

$r(t)=y(t)+n(t)$

$\text{ = }s(t)p(t)+n(t)$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a(nT)q(t-nT-t_0)e^{j(2\pi f_{0}t+\theta )}$ (40)

同理，$t_0$为起始时间，$T$为符号速率，$a(n)$为基带符号序列，$f_0$为载波频率，$\theta$为初始相位，$n(t)$为高斯白噪声，$q(t)$为矩形脉冲。令

$p(t)=e^{j(2\pi f_{0}t+\theta )}$ (41)

同实数信号模型对比，只有$p(t)$发生了改变，其二次变换的其傅里叶级数系数为

${⟨v_{\tau }(t)e^{-j2\pi \alpha t}⟩}_t={⟨p(t\text{ + }\tau /2)p^{\ast }(t-\tau /2)e^{-j2\pi \alpha t}⟩}_t$

$=e^{j2\pi f_0\tau }{⟨e^{-j2\pi \alpha t}⟩}_t$ (42)

则$p(t)$的循环自相关函数和谱相关密度函数为

$R_p^{\alpha }(\tau )=\{\begin{array}{cc}{e}^{j2\pi f_0\tau }& \alpha =0\\ 0& \alpha \ne 0\end{array}$(43)

$S_p^{\alpha }(f)=\{\begin{array}{cc}\delta \left(f-f_0\right)& \alpha =0\\ 0& \alpha \ne 0\end{array}$(44)

由(12)、(13)得$y(t)$的循环自相关函数为

$R_y^{\alpha }(\tau )=\sum _{\beta }{R}_p^{\beta }(\tau )R_s^{\alpha -\beta }(\tau )=e^{j2\pi f_0\tau }{R}_s^{\alpha }(\tau )$ (45)

$S_y^{\alpha }(f)=\sum _{\beta }{S}_p^{\beta }(f)\otimes S_s^{\alpha -\beta }(f)$

$=\delta (f-f_0)\otimes S_s^{\alpha }(f)$

$=S_s^{\alpha }(f-f_0)$ (46)

将(29)代入(46)，得$y(t)$的谱相关密度函数为

$S_y^{\alpha }(f)=\frac{1}{T}[Q(f-f_0+\alpha /2)Q^{\ast }(f-f_0-\alpha /2)e^{-j2\pi \alpha t_0}{\tilde{S}}_a^{\alpha }(f-f_0)]$ (47)

同(39)，可得复BPSK信号的谱相关密度函数为

$S_r^{\alpha }(f)=\{\begin{array}{cc}{S}_y^{\alpha }(f)+S_n^{\alpha }(f),& \alpha =0\\ S_y^{\alpha }(f),& \alpha \ne 0\end{array}$(48)

7.3 谱分析

7.3.1 主峰个数

对于实BPSK信号，由(36)、(38)可知，其谱相关密度函数在$f=0$且$\alpha =\pm 2f_0$处各有一个主峰；在$\alpha =0$且$f=\pm f_0$处各有一个主峰，即实BPSK信号共有4个主峰。

对于复BPSK信号，由(47)、(48)可知，其谱相关密度函数只有在$f=f_0$且$\alpha =0$处有一个谱峰。

7.3.2 切面特征

在式(36)中，令$f=0$，$\alpha =\pm 2f_0+m/T$得

$S_y^{\alpha }(f)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4T}{\left|Q\left(-f_0+\alpha /2\right)\right|}^2{e}^{-j\left[2\pi n{t}_0/T-2\theta \right]}& \alpha =2f_0+m/T\\ \frac{1}{4T}{\left|Q\left(f_0+\alpha /2\right)\right|}^2{e}^{-j\left[2\pi n{t}_0/T+2\theta \right]}& \alpha =-2f_0+m/T\end{array}$(49)

特别地，当$m=0$时，有

$S_y^{\alpha }(f)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4T}|Q(0){|}^2{e}^{j2\theta }& \alpha =2f_0\\ \frac{1}{4T}|Q(0){|}^2{e}^{-j2\theta }& \alpha =-2f_0\end{array}$(50)

即在$f=0$切面，其谱相关密度函数幅度最大值出现在循环频率为$\alpha =\pm 2f_0$处，由此可估计实BPSK信号的载波频率；在其左右偏移符号速率处，出现次峰值，可估计其符号速率，且可根据$\alpha =\pm 2f_0$处对应的谱相关密度函数的相位来估计初相$\theta$。

令$f=\pm f_0$，$\alpha =m/T$得

Syα(f)=14T{[Q(2f0+α/2)Q∗(2f0−α/2)+∣Q(α/2)∣2]e−j2παt0S_y^\alpha (f) = \frac{1}{{4T}}\{ [Q(2{f_0} + \alpha /2){Q^*}(2{f_0} - \alpha /2) + |Q(\alpha /2){|^2}]{e^{ - j2\pi \alpha {t_0}}}Syα​(f)=4T1​{[Q(2f0​+α/2)Q∗(2f0​−α/2)+∣Q(α/2)∣2]e−j2παt0​ (51)

即在$f=\pm f_0$切面，其谱相关密度函数幅度在循环频率为$\alpha =m/T$即符号速率整数倍处出现峰值，在$\alpha =0$处的峰值最大，由此可估计实BPSK信号的符号速率，此外还可根据符号速率处对应的谱相关密度函数的相位来估计时延$t_0$；其中，需要注意的是，当频率分辨率远远小于循环频率分辨率，即$\Delta f\gg \Delta \alpha$时，符号速率处对应的峰值才比较明显。

对于复BPSK信号，在式(47)中，令$\alpha =0$，得

$S_y^{\alpha }(f)=\frac{1}{T}|Q(f-f_0){\text{|}}^2$ (52)

即在$\alpha =0$切面，其谱相关密度函数幅度只在$f=f_0$出现峰值，由此可估计复BPSK信号的载波频率，但此时噪声$n(t)$的谱相关密度函数不为零，因此利用该切面进行载频估计受噪声影响较大。

令$f=f_0$，得

$S_y^{\alpha }(f)=\frac{1}{T}|Q(\alpha /2){|}^2{e}^{-j2\pi \alpha t_0}{\tilde{S}}_a^{\alpha }(0)$ (53)

即在$f=f_0$切面，其谱相关密度函数幅度在循环频率为$\alpha =m/T$即符号速率整数倍处出现峰值，在$\alpha =0$处的峰值最大，由此可估计实BPSK信号的符号速率，此外还可根据符号速率处对应的谱相关密度函数的相位来估计时延$t_0$。

7.4 成形滤波器对谱相关密度函数的影响

无论是BPSK还是QPSK调制信号，对于矩形成形，其频谱为Sa函数，当$\left|f\right|>1/T$时，存在衰减较慢的旁瓣，因此在循环频率为$\alpha =m/T$或$\alpha =m/T\pm 2f_0$处其谱相关密度函数仍然不为零，即在主峰周围会有很多小峰。对于（根）升余弦成形，当$\left|f\right|>1/T$时，其频谱较快衰减为零，因此其谱相关密度函数只在循环频率为$\alpha =1/T$或$\alpha =1/T\pm 2f_0$处有值。