示性函数、共轭函数、对偶范数、共轭

示性函数(Indicator function)

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共轭函数

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对偶范数

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几个常用公式

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共轭(conjugate)

所谓“轭”,指的是古代牛车上放在并行的牛脖颈上的曲木。共轭关系,通俗来说一般用以描述两件事物以一定规律相互配对或孪生(一般共轭对整体很相似,但在某些特征上却性质相反)。在自然界和数学王国中这种现象十分普遍,因此我们用这个词描述了很多以不同规律配对的对象。如二次方程的根式,复数,正反物质等等都有符合共轭现象定义的特征表现。

数学上的共轭:

共轭复数:实数部分相同而虚数部分互为相反数的两个复数。
矩阵的共轭转置:把矩阵转置后,再把每一个数换成它的共轭复数。
自共轭矩阵:矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。
代数上的共轭与共轭复数类似,用来进行分母有理化。

轭这个词是有真真切切的实物所对应的,是有非常具象的含义而非译者自己凭空创造出来的。下面这个图就是一副轭:
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上图实际上是一副牛轭,分别将两只牛的牛头塞进那两个木套子,就能驭使它们犁地、耕田、拉货。如果只有一个套子的,就只能驭使一头牛,即为单轭。像上面这样有两个套子的,即为双轭(共轭)。

有了图就很好解释和理解了。所谓的共轭关系是什么关系?共轭关系就是这幅双轭里面两头牛之间的关系:既相互制衡,相互约束,相互对立,又相互支撑,相互依存,相互统一。由于科学技术的长足发展,许多原本统一的概念在各个领域有了自己专属的含义。共轭也一样,在不同的科学领域有着不同的定义,共轭这个术语出现的学科包括但不限于以下这些:

  1. 数学;
  2. 化学;
  3. 物理;

本文主要还是针对其数学领域而言,其他领域的请自行参考相关资料。

2.1 共轭的类型

目前数学里面定义的共轭的类型包括但不限于以下内容:

  1. 共轭复数;
  2. 共轭根式;
  3. 共轭元素(场论);
  4. 谐波共轭;
  5. 共轭转置;
  6. 共轭梯度法;
  7. 共轭先验/分布;
  8. 共轭线图(图论);
  9. 共轭闭合(群论);
  10. 等角共轭;
  11. 共轭点;

2.2 共轭复数

2.2.1 共轭复数的定义

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2.2.2 共轭复数的性质

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2.3 共轭根式

2.3.1 共轭根式的定义

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2.4 共轭转置

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2.5 共轭先验/分布

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对偶 ≠ 共轭

duality不等于conjugation
对偶dual一定共轭conjugate,反之未必。
(集合中的2个元素)共轭conjugate,是说:一个元素a可以以1种确定的方式变成另外一个元素b。conjugate的本意,不是“一对”,而是“让2个东西能联结到一起”:
在整数加群中,“2”和“-2”关于零元共轭;在有理数域中,“2”和“1/2”关于幺元共轭;在复平面中,“1+i”和“1-i”关于实轴共轭;在向量空间中,向量(1,1)和向量(-2,2)关于纯数0共轭;在测度空间中,Lp空间和Lq关于代数运算(p + q = pq)共轭;……
(集合中的2个元素)对偶dual,是说:一个元素a可以以2种确定的方式变成另外一个元素b。dual的本意,也不是“一对”,而是“某件事的二重性、二元性、二象性、二择性”:
在整数环中,“2”可以共轭到“-2”,也可以通过乘以“-1”变成“-2”;在复平面中,“1+i”可以共轭到“1-i”,也可以旋转到“1-i”;在向量空间中,向量a可以经由某个双线性函数共轭到向量b,也可以经由特征矩阵变换到向量b;在满足Poincaré对偶的流形中,某个维度上的单形链既存在于同调群中,也存在于对偶的上同调群中;……
dual比conjugate厉害,是因为前者必须会玩2种游戏,而后者只要会1种游戏就行。即:后者是群group就行,而前者必须至少是环ring。
在很多场合(如:线性代数、赋范空间)不必区分dual和conjugate(二者是一回事)是因为这些场合天然自带“环ring”甚至“域field”。但在更一般的、只存在1种游戏的场合(如:测度空间、流形、复形),如果不另添加1种游戏进来,那就顶多只能玩conjugation了(duality没戏)。

https://flat2010.github.io/2018/10/26/%E5%85%B1%E8%BD%AD%E7%9A%84%E9%82%A3%E4%BA%9B%E4%BA%8B%E5%84%BF/

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