函数的极限
第一步：判断极限类型
1、
常用方法：①洛必达法则 ②等价无穷小代换 ③泰勒公式
2、
常用方法：①洛必达法则
②分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大
③基本极限：
当n=m时，极限等于
3、∞-∞ 型
常用方法：①通分化为
②根式有理化（适用于根式差）
③提无穷因子，然后等价代换或变量代换（t=
4、0 · ∞ 型
常用方法：f(x)由分子变为分母
5、
常用方法：
①凑基本极限
②改写成指数
③利用结论：
6、
这类函数一定是幂指函数，即
第二步：化简原式
a）两式相加减时考虑：
①提取极限非零的公因子
②拆开后等价无穷小代换
（拆开的条件：加法两式相除的极限≠-1，减法两式相除的极限≠1，
即若
b）看见根号相加减时，考虑有理化
c）分母为
d）幂指函数时：先改写幂指函数为指数函数，再等价代换
当
数列的极限
常见的数列极限有：
1、不定式
与函数极限方法相同，但注意不能直接使用洛必达法则，要先改写为函数极限才可以使用
2、n项和的数列极限
常用方法 ①夹逼原理 ②定积分定义 ③级数求和
当变化部分的最大值与其主体部分相比较是次量级，使用夹逼原理
（如
当变化部分的最大值与其主体部分相比较是同量级，使用定积分定义
（ 如
一种常见的极限式：
3、n项连乘的数列极限
常用方法： ①夹逼原理 ②取对数化为n项和
4、递推关系
常用方法:
①当数列具有单调性时：先证明数列收敛（单调有界准则），然后令
等式
②当数列不具有单调性或单调性很难判定时：
先令
证明数列极限的“通法框架”：
（引用 来源：跌落的小刀
链接：https://www.zhihu.com/question/21068499/answer/1156867616）
一个数列极限为A在图形上（即数列的散点图）可表示为①②③三种形态，对①②③三种形态来说，均可使用夹逼定理进行计算，但是对于①②两种形态的数列来说有更为简便的证明方法，即是单调有界准则，而对于③这一种形态的数列来说只能运用夹逼定理进行证明；
- 一个问题的讨论：数列的有界性（①②③三种形态）和单调性（①②两种形态）谁依附于谁？是先证明单调性还是先证明有界性？答案是有界性。因为对于夹逼定理而言，我们需要进行放缩处理（可以结合下面的例题进行思考），而放缩的关键就是数列的有界性必须知道；对于单调有界准则而言，单调性的证明（邻项相减、相除、求导）又依赖于数列有界性；
- 如何证明有界性？
我们可以看到数列的极限A在数列的有界性中扮演着重要角色，所以我们需要先求出A。这一步其实很简单，我们可以先假设数列极限存在并为A，利用已知条件解方程求出A即可，之后再证明数列极限的存在就可以了（因为我们是先假设极限存在的）。求出A之后一切就都明了了，我们可以求出数列的前几项的具体数值，然后与A进行比较，就可以知道此数列是①②③中的哪种形态了。然后所有的东西就已经陈列在我们面前：是运用夹逼还是单调有界？是单调增还是减？以及数列的界限在哪也很清楚了。然后我们就可以猜测数列的界限了，当然猜完之后我们还需要证明，也就是许多教科书上运用的归纳法，总的来说单调性的证明就是先猜后证；
- 如何证明单调性？
单调性的证明方法就是：邻项相减、相除、求导；
- 方法的选择：“单调有界准则”or“夹逼定理”？
当我们判断出所求数列属于①②③中的哪种形态时，就可以知道应该使用哪种方法了。对①②③来说均可以使用夹逼定理；对①②来说既可以使用夹逼也可以使用单调有界，但是具体哪个证明方法更简单，就因题而异了；
- 总结：数列极限证明流程
第一步：先假设极限存在并设为A，然后利用已知条件求出A（通常是解方程），继而判断出所求数列属于①②③中的哪种形态；
第二步：由第一步判断出所求数列的形态后，就可以根据数列形态猜测数列的界限了，然后运用归纳法对数列界限进行证明；
第三步：当所求数列属于①②形态时既可以运用夹逼亦可以运用单调有界准则，至于哪个更简单可以自主选择；所求数列属于③形态时，只能运用夹逼；
第四步：单调性的证明（只有数列是①②形态时才进行单调性证明），考研考的都是这种，方法是邻项相减、相除、求导；
