labview求n阶乘的和_求极限方法总结

函数的极限

第一步:判断极限类型

1、

常用方法:①洛必达法则 ②等价无穷小代换 ③泰勒公式

2、

常用方法:①洛必达法则

②分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大

③基本极限:

当n=m时,极限等于

,当n<m时,极限等于0,当n>m时,极限等于+∞.

3、∞-∞ 型

常用方法:①通分化为

(适用于分式差)

②根式有理化(适用于根式差)

③提无穷因子,然后等价代换或变量代换(t=

)、泰勒公式

4、0 · ∞ 型

常用方法:f(x)由分子变为分母

,化为
型或

5、

常用方法:

①凑基本极限

②改写成指数

,用洛必达法则;

③利用结论:

6、

这类函数一定是幂指函数,即

,求解的方法式将其改写为指数形式
,从而就化为0 · ∞ 型。

第二步:化简原式

a)两式相加减时考虑:

①提取极限非零的公因子

②拆开后等价无穷小代换

(拆开的条件:加法两式相除的极限≠-1,减法两式相除的极限≠1,

即若

,则

,则

b)看见根号相加减时,考虑有理化

c)分母为

,分子为sinx,cosx,
,ln(1+x)时,考虑泰勒公式

d)幂指函数时:先改写幂指函数为指数函数,再等价代换


数列的极限

常见的数列极限有:

1、不定式

与函数极限方法相同,但注意不能直接使用洛必达法则,要先改写为函数极限才可以使用

2、n项和的数列极限

常用方法 ①夹逼原理 ②定积分定义 ③级数求和

当变化部分的最大值与其主体部分相比较是次量级,使用夹逼原理

(如

,
中1、2为变化部分,
为主体部分。)

当变化部分的最大值与其主体部分相比较是同量级,使用定积分定义

( 如

一种常见的极限式:

3、n项连乘的数列极限

常用方法: ①夹逼原理 ②取对数化为n项和

4、递推关系

定义的数列极限

常用方法:

①当数列具有单调性时:先证明数列收敛(单调有界准则),然后令

等式

两端取极限得A=f(A),由此求得极限A

②当数列不具有单调性或单调性很难判定时:

先令

,然后等式
两端取极限得A=f(A),由此求得极限A,得到极限初步结果,最后再证明令
.

证明数列极限的“通法框架”:

(引用 来源:跌落的小刀
链接:https://www.zhihu.com/question/21068499/answer/1156867616)

一个数列极限为A在图形上(即数列的散点图)可表示为①②③三种形态,对①②③三种形态来说,均可使用夹逼定理进行计算,但是对于①②两种形态的数列来说有更为简便的证明方法,即是单调有界准则,而对于③这一种形态的数列来说只能运用夹逼定理进行证明;

  • 一个问题的讨论:数列的有界性(①②③三种形态)和单调性(①②两种形态)谁依附于谁?是先证明单调性还是先证明有界性?答案是有界性。因为对于夹逼定理而言,我们需要进行放缩处理(可以结合下面的例题进行思考),而放缩的关键就是数列的有界性必须知道;对于单调有界准则而言,单调性的证明(邻项相减、相除、求导)又依赖于数列有界性;

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  • 如何证明有界性?

我们可以看到数列的极限A在数列的有界性中扮演着重要角色,所以我们需要先求出A。这一步其实很简单,我们可以先假设数列极限存在并为A,利用已知条件解方程求出A即可,之后再证明数列极限的存在就可以了(因为我们是先假设极限存在的)。求出A之后一切就都明了了,我们可以求出数列的前几项的具体数值,然后与A进行比较,就可以知道此数列是①②③中的哪种形态了。然后所有的东西就已经陈列在我们面前:是运用夹逼还是单调有界?是单调增还是减?以及数列的界限在哪也很清楚了。然后我们就可以猜测数列的界限了,当然猜完之后我们还需要证明,也就是许多教科书上运用的归纳法,总的来说单调性的证明就是先猜后证;

  • 如何证明单调性?

单调性的证明方法就是:邻项相减、相除、求导;

  • 方法的选择:“单调有界准则”or“夹逼定理”?

当我们判断出所求数列属于①②③中的哪种形态时,就可以知道应该使用哪种方法了。对①②③来说均可以使用夹逼定理;对①②来说既可以使用夹逼也可以使用单调有界,但是具体哪个证明方法更简单,就因题而异了;

  • 总结:数列极限证明流程

第一步:先假设极限存在并设为A,然后利用已知条件求出A(通常是解方程),继而判断出所求数列属于①②③中的哪种形态;
第二步:由第一步判断出所求数列的形态后,就可以根据数列形态猜测数列的界限了,然后运用归纳法对数列界限进行证明;
第三步:当所求数列属于①②形态时既可以运用夹逼亦可以运用单调有界准则,至于哪个更简单可以自主选择;所求数列属于③形态时,只能运用夹逼;
第四步:单调性的证明(只有数列是①②形态时才进行单调性证明),考研考的都是这种,方法是邻项相减、相除、求导;

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