Segment Tree 线段树算法

什么是线段树算法：
线段树（Segment Tree）是一种基于树结构的数据结构，用于解决区间查询问题，例如区间最大值、最小值、区间和等。线段树是一种高度平衡的二叉树，每个节点都代表了一个区间。下面我们来详细了解一下线段树算法。

线段树的构建
线段树的构建过程可以通过递归的方式实现。对于一个给定的数组，我们首先构建一个高度为 log n 的线段树，其中 n 是数组的长度。每个节点都代表了一个区间，例如左儿子节点代表[l, r]，右儿子节点代表[r+1, r2]。具体的构建过程如下：
1.初始化根节点，区间为[0, n-1]。
2.对于每个节点，如果它的左右儿子节点存在，就递归构建左右儿子节点。
3.每个节点的值根据需要更新，例如查询最大值时，每个节点存储的值应该是该区间内的最大值
4.当构建到叶子节点时，将叶子节点的值存储为对应区间的值。

线段树查询
线段树查询可以通过递归的方式实现。对于一个查询区间[l, r]，我们从根节点开始，根据区间与节点所代表区间的关系，逐步向下遍历子树，直到到达叶子节点。在遍历过程中，我们可以根据需要更新节点的值，例如查询最大值时，如果当前节点的值比查询区间的值更大，就将当前节点的值更新为查询区间的值。具体的查询过程如下：
1.从根节点开始，如果当前节点所代表的区间与查询区间有交集，就继续向下遍历。
2.如果当前节点的左儿子节点存在，并且左儿子节点所代表的区间与查询区间有交集，就递归查询左儿子节点。
3.如果当前节点的右

示例1：
在这里插入图片描述线段树是一种二叉搜索树。他将一段区间划分为若干个单位区间，每个节点之间存储一个区间。思想类似于分治思想。

如图所示，线段树中每一个节点都存储着区间[1,10]中的信息，叶子节点的L = R。大致思想为：将大区间平分为2个小区间，每一个小区间再平分为更小的2个区间，以此类推直到每个区间的L = R，通过对这些区间的修改和查询来实现对大区间的修改和查询。
单点查找、修改的时间复杂度：O(log2n)
线段树维护的问题必须满足区间加法例如：[1,3] + [2,4] = [1,4]。

代码演示

 public static class SegmentTree{//记录原数组的长度， 线段树下标是从1 开始，原数组是从0开始，private int MAXN;//保存原数组的信息，不过下标从1开始了private int[]arr;//模拟线段树维护记录区间和private int[]sum;//为累加和懒加载private int[]lazy;//区间更新的值private int[]change;//是否更新的标记private boolean[]update;public SegmentTree(int[] origin) {MAXN = origin.length + 1;for (int i = 1; i < MAXN;i++){arr[i] = origin[i - 1];}//用来记录逻辑概念中，某一范围的累加和信息。sum = new int[MAXN << 2];//用来支持逻辑概念中，某一个范围沒有往下透传的累加任务lazy = new int[MAXN << 2];//用来支持逻辑概念中，某一个范围更新任务，更新成了什么change = new int[MAXN << 2];// 用来支持逻辑概念中，某一个范围有没有更新操作的任务update = new boolean[MAXN << 2];}/*** rt 代表逻辑概念中 所在的位置* @param rt*/public void pushUp(int rt){sum[rt] = sum[rt << 1] + sum[rt << 1 | 1];}/*** 初始化线段树* 初始化时 先把sum数组填好* @param l* @param r* @param rt*/public void build(int l,int r,int rt){if (l == r){sum[rt] = arr[l];return;}int mid = (r + l) >> 1;build(l,mid,rt << 1);build(mid + 1,r,rt << 1 | 1);pushUp(rt);}/*** 任务往下分配* @param rt 当前位置* @param ln 分配任务的左边界* @param rn 分配任务的右边界*/private void pushDown(int rt,int ln,int rn){if (update[rt]){update[rt << 1] = true;update[rt << 1 | 1] = true;change[rt << 1] = change[rt];change[rt << 1 | 1] = change[rt];lazy[rt << 1] = 0;lazy[rt << 1 | 1] = 0;sum[rt << 1] = change[rt] * ln;sum[rt << 1 | 1] = change[rt] * rn;update[rt] = false;}//懒加载的数据分发下去if (lazy[rt] != 0){lazy[rt << 1] += lazy[rt];sum[rt << 1] += lazy[rt] * ln;lazy[rt << 1 | 1] += lazy[rt];sum[rt << 1 | 1] += lazy[rt] * rn;lazy[rt] = 0;}}/*** L - R 任务的范围，C 修改的大小* l r ,rt 所负责的范围。* @param L* @param R* @param C* @param l* @param r* @param rt*/public void add(int L,int R,int C,int l,int r,int rt){if (L <= l && r <= R){sum[rt] += C * (r - l + 1);lazy[rt] += C;return;}int mid = (r + l) >> 1;//任务没有全包，就下发。pushDown(rt,mid - l + 1,r - mid);if (L <= mid){add(L,R,C,l,mid,rt << 1);}if (R > mid){add(L,R,C,mid + 1,r,rt << 1 | 1);}pushUp(rt);}/***  //L - R 范围内所有值都变成 C*  //l - r 是 rt 所在位置的包含数字的范围* @param L* @param R* @param C* @param l* @param r* @param rt*/public void update(int L,int R,int C,int l,int r,int rt){//所在范围被全包了。if (L <= l && r <= R){change[rt] = C;update[rt] = true;sum[rt] = (r - l + 1) * C;lazy[rt] = 0;return ;}int mid = (r + l) >> 1;pushDown(rt,mid - l + 1,r - mid);if (L <= mid){update(L,R,C,l,mid ,rt << 1);}if (R > mid){update(L,R,C,mid + 1,r,rt << 1 | 1);}pushUp(rt);}/*** 查询*  //L - R 要查询的范围*   //l - r 是 rt 所包含的范围。* @param L* @param R* @param l* @param r* @param rt* @return*/public long query(int L,int R,int l,int r,int rt){if (L <= l && r <= R){return sum[rt];}int mid = (r + l) >> 1;pushDown(rt,mid - l + 1,r - mid);long ans = 0;if (L <= mid){ans += query(L,R,l,mid,rt << 1);}if (R > mid){ans += query(L,R,mid + 1, r, rt << 1 | 1);}return ans;}}