4 基本数值算法
4.2 线性方程组
4.2.1 线性方程组的特性
解的存在性和唯一性
满足下面条件之一，A非奇异，可逆：
如果b属于A的列向量张成的空间，则称方程组是相容的。
范数需要满足次可加性（三角不等式）。
对于n维矢量x，可以定义p范数，p为大于0的整数：
定义矩阵范数：
根据相应的向量范数，我们可以得到：1范数为列向量求和最大，2范数为行向量求和最大。
矩阵范数：满足这些性质：
对于任一标量
对任意矢量x，有
问题的敏感性和病态性
如果A奇异，则
矩阵的条件数刻画了矩阵对于非零矢量最大的延伸和压缩能力，矩阵的条件数越大，说明矩阵越接近奇异。
矩阵条件数的性质：
对于任意矩阵A，
4.2.2 线性方程组的直接解法
主要是两种：高斯消去法和LU分解
高斯消去法主要的计算量消耗在消元过程，时间复杂度为
在消去过程中，对角线上的元素会作为除数，如果它很小，就会发生上溢从而严重影响求解精度。于是就有了一个操作叫做：列选主元。讲的是一个矩阵计算到
然后LU分解在线性代数里面已经学过了，这里就不再说了......
线性方程组解的精度
残差向量：
当A为良态时，小的相对残差意味着解的相对误差也小。A如果病态，稳定的算法可以得到小的残差，但解的精度不一定高。
高斯-约当法：把A变成一个对角阵。
乔列斯基分解：如果A是对称正定阵则可以使用。
4.2.3 线性方程组的迭代解法
迭代求解：直接解法的时间复杂度都是
不动点迭代
如果
分裂A是实现不动点迭代的基本方法，令
雅可比方法
高斯-赛德方法
高斯-赛德方法能够及时利用更新过的分量参与下一步计算，因此收敛速度要比雅可比大约快一倍，但这两种方法收敛通常很慢。
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