计算方法上机练习 数值积分

(包括两次的作业 )

马骢

问题： 《计算方法引论》pp.132–133 练习

分析：在实际应中基本的数值积分，可 以分为以下种类 ：

• 牛顿型 ：在给定有 限区 间上求等距节 点上 的函数值 。如牛顿-柯茨法则

(数值上不好用 )、矩形法则 、梯形法则 、辛 卜生法则 ，以及 “扩展 ”

(“复化 ”)的梯形法则或辛 卜生法则等等。

• 高斯型 ：在有 限或无 限区间上 ，计算 由一族正交多项式 的根为节点处 的

函数值 。选择不 同的正交多项式可 以得到不 同的公式 ，如有 限区间上 的

高斯-勒让德公式 (经典高斯型积分 )、高斯-切 比谢夫公式 ，无 限区间上

的高斯-拉盖尔公式和高斯-埃尔米特公式。

牛顿型积分法又分为开式和 闭式 ，以及半开式 。开式不使用区间端点函数值 ，

这在端点处有可积奇点的时候有很大 的优越性 ；闭式使用两端点的函数值 ；半

开式则使用一个端点的函数值 。以下主要使用 闭式。

为了增强牛顿型积分的效果，通常可 以考虑 以下方面：

1. 增加次数 。使用更高次 的多项式 ，在被积 函数光滑型好 的情况下可 以提

高精度 ，但是我们始终要注意 的一点是代数精度不等于精确度 。在被积

函数不光滑 的时候高次公式可能引入 巨大误差 ，而且增加次数不能保证

收敛于真值 。

2. 复化 。将 区 间分成更 多小 区 间，在每个 (每 组 )小 区 间上使用低 次公

式 。这种方法如果使用得当可 以很好地提高精度 ，特别是复化梯形法在

被积 函数连续性 、光滑性很差 的时候是极其稳健 的方法 。不过这要求 函

数求值 的次数非常多，特别是在使用逐次半分法进行复化逼近 的时候 ，

如 果 区 间较长 ，或 函数跃变很大 ，则难 以收敛 ，并且舍入误 差积 累很

大。

3. 外插 。所谓 “外插 ”指 的是理查森 的间接求极 限法用于求积分 。将误差

项 的阶数看作步长 的函数 ，求 出步长逐渐减小时积分 的一系列近似值 ，

再将这些值外插 到步长 为0的极 限情况 ，得到的插值 结果作为数值积分

的结果 。在实现上有基于梯形公式 的龙 贝格法 。外插法 的速度快 ，但是

它适用 的范 围并不一定 因此扩大 。对于常规方法需要很多次计算才能逼

近 的情况 ，它 的求值 、四则运算次数一般也可能很多，舍入误差难 以控

制 。

高斯型积分 的节 点和权数需要预先计算好 ，节 点不能 自己选择 。其 中高

斯-勒让德型和高斯-切 比谢夫型 的积分节点 比较好计算 (前者利用解析性质结

合牛顿求根法 ，后者可写成显式 )。高斯-拉盖尔和高斯-埃尔米特型积分可分

别求半无穷或整个实数轴上 的积分 。勒让德型积分 比较普适 ；切 比谢夫型 的积

1

1

√

分适合于被积 函数 中有权 函数 因子 的情况 ，但一般情况下不及勒让德

1 − x2

2

型准确 。拉盖尔型和埃尔米特型分别适用于有权 函数e−x和e−x 的情形 。值得

注意 的是高斯型积分属于 “开式 ”积分 ，不受端点处可积奇点的影响。一般在

被积函数解析形式 已知，光滑型 比较好 的时候使用 ，以获取较大的精度 。

求解：我们只给出以上编写的函数 ，练习的求解仅仅是调用它们 。

• traprefin.m 逐次半分的梯形求积

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