matlab中欠定方程组超定方程组_《数值天气预报》:球坐标系中的基本方程组

人们是如何预报天气的?目前的预报方法主要有两种:一种是基于由各种探测资料绘制的天气图,结合历史资料进行分析预测;另一种是基于大气方程组,利用数值解法对其进行求解,从而得到未来时刻的大气状态。

后者就是我们《数值天气预报》所要研究的内容了。

先来看一个最基本的大气运动方程组:

它适用于干空气或未饱和湿空气(即不发生水汽凝结过程的大气)。其中第一个式子是根据牛顿第二定律得到的运动方程。第二个式子是根据质量守恒定律得到的连续方程。第三个式子是根据能量守恒定律得到的热力学方程。第四个式子就是我们高中就学过的理想气体状态方程

这是一个有6个因变量(

)的闭合方程组。为什么有6个变量,只有四个方程,就是一个闭合方程组了呢?根本原因在于,第一个方程(运动方程)是一个
矢量方程,将矢量沿三个方向展开后,可以得到三个方向的运动方程。这样一来,上面的方程组实质上就由六个方程组成。

我们都知道矢量的展开结果,与选取的基向量(或选取的坐标系)有关。在这篇文章中,我们要介绍的是基本方程组在球坐标系中的形式。

所谓球坐标系,有点像三维的极坐标系。它的基本原理是用经度

、纬度
和向径
描述某点P在坐标系中的位置。与之相对应的,我们选取的标架
分别是与纬圈相切指向东、与经圈相切指向北、垂直于地表指向天顶的单位向量。

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球坐标系示意图

这样,速度矢量

可以被我们分解到
三个方向:

于是运动方程等号左端的加速度项可以被写成:

如果是在笛卡尔坐标系中,结果的后三项是等于0的,也就是我们之前经常见过的形式:

。因为在笛卡尔坐标系中,标架
是始终固定不动的,有
。而在球坐标系中,很明显,
会随着点P位置的变化而变化,因而后三项不能被省略。

那么现在我们需要考虑一个新的问题:

怎么表示?

为例,根据个别变化与局地变化的关系有:

在某个确定的位置,

是不随时间变化的,而且
只存在于x方向,因此有

于是有

。这样,我们就把
在x方向上的局地导数联系起来了,问题的关键变成了求
。我们知道,矢量的导数还是矢量。因此我们不妨分别求
的大小和方向。

先来看它的大小:

变化一个很小的角度
,当转过的弧线足够短时,可以近似把等腰三角形的底边长度等价于弧线长度
。设此时
的变化量是
。其中

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沿纬圈平面剖面图

那么

。可以发现,图中的红色三角形和蓝色三角形都是等腰三角形,而且他们的顶角是相等的。因此这两个三角形相似,有两底边长之比等于两腰长之比,即
。考虑到
是单位向量,有

这样一来,我们就求出了

的大小。下面来看一下它的方向:

从上面的示意图难看出,

的方向是平行于纬圈平面,且指向地轴的。如果再做一个沿经圈平面的剖面图,可以发现
的方向可以用向量
来表示,而这个向量恰好又是一个单位向量。

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沿经圈平面剖面图

在求出

的大小和方向后,我们就可以完整表示
了:

同理,我们可以得到

有了这些,方程等号左端在球坐标系中的展开就完成了:

方程右端大部分项的展开都是容易的。如重力

;摩擦力
;地转偏向力=
。其中

但唯独气压梯度力项

比较特殊。我们之前了解过,哈密顿算子
在直角坐标系中的形式是
。但是在球坐标系中,我们希望用
来代替式中的
。下面我们来推导一下球坐标系中的哈密顿算子。

先来思考一下直角坐标系中哈密顿算子每一项的物理意义。

中,
表示的是“物理量
方向上的变化率”。基于这个原理,回到球坐标系中,用
分别表示沿
方向的一段微小位移,那么有

下一步就是找

的关系了。观察一开始的球坐标系示意图不难发现:

于是

这样,我们就得到了 球坐标系下的哈密顿算子。从而气压梯度力项可以被展开为

至此,我们就已经完成了文章开头提到的“第一个方程(运动方程)是一个矢量方程,将矢量沿三个方向展开后,可以得到三个方向的运动方程”,即

三个方向各一个方程:

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我罢工!!!这个公式手动完怕是我人都没了

当然,大气运动方程组里的其他方程也可以转化成球坐标系中的形式,这里就不说了。

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