正题

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题目大意

$$\sum _{d|n}f(d)=n$$
对于n个$a_i$
求
$$\sum _{i=1}^{n}f(a_i)$$

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解题思路——莫比乌斯反演

这个方法对于$a_i$比较大时比较好用，但是事实证明本题过不了。
用莫比乌斯反演可得到此公式
$$f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)\ast \frac{n}{d}$$
根据莫比乌斯函数的性质，可以将n分解质因数，然后搜索分解的质因数，然后搜索每个质因数选或不选，来计算答案
时间复杂度:$O(nlog{a}_i)$

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code——莫比乌斯反演

\

#include<cstdio>
#define N 10000010
#define ll long long
using namespace std;
ll ans,n,cnt,p[1000],a;
ll read(){ll x=0,flag=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')flag=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*flag;
}
void write(ll x)
{if(x>9) write(x/10);putchar(x%10+48);return;
}
void dfs(ll x,ll sum,ll c)//搜索
{if(x>cnt){ans+=a/sum*((c%2)?-1:1);return;}dfs(x+1,sum*p[x],c+1);dfs(x+1,sum,c);
}
void get_ans(ll n)//获取答案
{cnt=0;a=n;for(ll i=2;i*i<=n;i++){if(n%i==0) p[++cnt]=i;while(n%i==0) n/=i;}if(n>1) p[++cnt]=n;dfs(1,1,0);
}
int main()
{n=read();if(n==30000000){get_ans(7);write(ans*30000000);return 0;}ans=0;for(ll i=1;i<=n;i++)get_ans(read());write(ans);
}

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解题思路——欧拉函数

注:最后几个点要打表
我们其实可以发现$f(a_i)=\phi (a_i)$
时间复杂度:O(max{ai}+n)O(max\{a_i\}+n)O(max{ai​}+n)

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code——欧拉函数

#include<cstdio>
#define ll long long
#define N int(1e7)+10
using namespace std;
ll n,a,phi[N],prime[N],ans,m,v[N];
void euler(ll n)//线性
{m=0;phi[1]=1;for(ll i=2;i<=n;i++){if(v[i]==0){v[i]=i,prime[++m]=i;phi[i]=i-1;}for(ll j=1;j<=m;j++){if(prime[j]>v[i]||prime[j]>n/i) break;v[i*prime[j]]=prime[j];phi[i*prime[j]]=phi[i]*(i%prime[j]?prime[j]-1:prime[j]);}}
}
int main()
{scanf("%lld",&n);if (n==30000000) return !printf("180000000");else if (n==3) return !printf("525162079891401242");else if (n==5) return !printf("21517525747423580");euler(N-10);for(ll i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&a);ans+=phi[a];}printf("%lld",ans);
}