正题

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P1943

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题目大意

定义$Local$数为一个数且比它前面的数字都要大。

求一个随机长度为$n$的序列中$Loacl$数的期望数量。

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解题思路

$$ans=\frac{Local(a)}{n!}$$

现在我们分开求，先考虑如何求出所有序列中$Local$数的数量

一个数$x$，有$x-1$个数比他小，那么若一个数成为$Local$数的排列数是
$$\sum _{k=1}^x{P}_{k-1}^{x-1}\ast P_{n-x}^{n-x}=P_{x-1}^{k-1}\ast (n-x)!$$
也就是答案为
$$\sum _{x=1}^n\frac{{\sum }_{k=1}^x(P_{x-1}^{-1})\ast (n-x)!}{n!}$$
打表得(我不会证明啊)
$$\Rightarrow \sum _{x=1}^n\frac{1}{x}$$

然后过掉$n\le 1000000$的点，然后使出调和级数
$$\sum _{x=1}^n\frac{1}{x}=\log (n+1)+r(n\to \infty )$$
$r$为欧拉函数$r\approx 0.5772156649$

$\text{鬼知道考试的时候谁做的出来}$

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$code$

// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
double n,ans;
int main()
{scanf("%lf",&n);if(n<=1000000)for(int i=1;i<=n;i++)ans+=((double)1/i);else ans=log(n+1)+0.5772156649;printf("%.8lf",ans);
}