正题

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题目大意

定义函数$f(x)$表示有多少长度为$n$的序列使得其中全都是$x$的约束，然后每个序列的贡献是这个序列的$gcd$再$gcd$上一个$B$。

给出$n,m,B$，求${\sum }_{i=1}^{m}f(i)$。

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解题思路

我们发现$f$是一个积性函数，所以我们考虑用线性筛。

首先我们要预处理出所以$f(p^c)$($p$为质数)，我们定义$d$为最大的一个$x$使得$p^x|B$，有
$$f(p^c)=\{\begin{array}{c}{\sum }_{i=0}^c{p}^i\ast [(c-i+1{)}^n-(c-i{)}^n](c\le d)\\ p^d\ast (c-d+1{)}^n+{\sum }_{i=0}^{d-1}{p}^i\ast [(c-i+1{)}^n-(c-i{)}^n](c>d)\end{array}$$

然后我们发现此式子可以递推，然后用积性函数的性质，然后可以做到$O(m)$推出$f(1\sim m)$

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$code$

/*#pragma GCC optimize(2)
%:pragma GCC optimize(3)
%:pragma GCC optimize("Ofast")
%:pragma GCC optimize("inline")*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long 
using namespace std;
const ll XJQ=998244353,N=21000000;
ll n,m,f[N],ans,p[80],pri[N],cnt,B;
bool v[N];
ll power(ll x,ll b)
{ll ans=1;while(b){if(b&1) ans=(ll)ans*x%XJQ;x=(ll)x*x%XJQ;b>>=1;}return ans;
}
int main()
{//freopen("sequence.in","r",stdin);//freopen("sequence.out","w",stdout);scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&B);f[1]=1;p[1]=1;for(ll i=1;i<=60;i++)p[i]=power(i,n);for(ll i=2;i<=m;i++){if(!v[i]){ll d=0,P=1,last=1;pri[++cnt]=i; while(!(B%i)) B/=i,d++; for(ll j=i,c=1;j<=m;j*=i,c++){v[j]=1;if(c<=d){(f[j]=f[j/i]*i%XJQ+p[c+1]-p[c]+XJQ)%=XJQ;last=f[j];P=j;}else{f[j]=(last*i%XJQ+p[c+1]-p[c])%XJQ-(P*i)%XJQ*(p[c-d]-p[c-d-1])%XJQ;last=f[j];(f[j]+=P*p[c-d])%=XJQ;f[j]=(f[j]+XJQ)%XJQ; }}}for(ll j=1;j<=cnt;j++){if(!(i%pri[j])||i*pri[j]>m) break;//v[pri[j]*i]=1;for(ll k=pri[j];i*k<=m;k*=pri[j])v[i*k]=1,f[i*k]=f[i]*f[k]%XJQ;}}for(ll i=1;i<=m;i++)(ans+=f[i])%=XJQ;printf("%lld",ans);
}