正题

题目链接:https://www.luogu.org/problem/P3750

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题目大意

$n$盏灯和按钮，每次随机选择一个$x$按下后会让$x$的倍数的灯都取反，然后若最少$k$步就可以将所有灯关闭那么直接选择最优策略，求关闭所有灯的期望次数。

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解题思路

做期望$dp$,设$f_i$表示从$i+1$个需要按下的到$i$个需要按下的时的期望次数，有转移方程
$$f_i=\frac{i}{n}+\frac{n-i}{n}(f_{i+1}+f_i+1)$$
然后化简为
$$f_i=\frac{n+(n-i)\ast f_{i+1}}{i}$$
然后我们考虑灯的性质，我们发现有些灯是必须按下的，而其他的灯都是不能按下的。所有我们可以计算出一个数$num$表示有多少按钮必须按下，这时我们可以发现答案就是$({\sum }_{i=k+1}^{num}{f}_i)+k$，当然要特判一下$num\le k$的情况。

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=110000,XJQ=100003;
ll n,a[N],f[N],num,ans,k;
ll power(ll x,ll b)
{ll ans=1;while(b){if(b&1) ans=ans*x%XJQ;x=x*x%XJQ;b>>=1;}return ans;
}
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&k);for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);for(ll i=n;i>=1;i--)if(a[i]){num++;for(ll j=1;j*j<=i;j++)if(!(i%j)){a[j]^=1;if(j*j!=i) a[i/j]^=1;}}f[n+1]=1;for(ll i=n;i>=1;i--)f[i]=((n-i)*f[i+1]%XJQ+n)%XJQ*power(i,XJQ-2)%XJQ;if(num<=k) ans=num;else{for(ll i=k+1;i<=num;i++)(ans+=f[i])%=XJQ;(ans+=k)%=XJQ;}for(ll i=1;i<=n;i++)ans=ans*i%XJQ;printf("%lld",ans);
}