运动员最佳配对问题

西安交大软件53 蔡少斐

题号：6_5

题目叙述：

羽毛球队有男女运动员各n人。

给定2个n×n矩阵P和Q。P[i][j]是男运动员i和女运动员j配对组成混合双打的男运动员竞赛优势；Q[i][j]是女运动员i和男运动员j配合的女运动员竞赛优势。

由于技术配合和心理状态等各种因素影响，P[i][j]不一定等于Q[j][i]。男运动员i和女运动员j配对组成混合双打的男女双方竞赛优势为P[i][j]*Q[j][i]。

设计一个算法，计算男女运动员最佳配对法，使各组男女双方竞赛优势的总和达到最大。

编程任务：设计一个算法，对于给定的男女运动员竞赛优势，计算男女运动员最佳配对法，使各组男女双方竞赛优势的总和达到最大。

输入格式

输入数据第一行有1 个正整数n (1≤n≤10)。接下来的2n行，每行n个数。前n行是P，后n行是Q。

输出格式

将计算出的男女双方竞赛优势的总和的最大值输出。

输入样例

3
10 2 3
2 3 4
3 4 5
2 2 2
3 5 3
4 5 1

输出样例

题目解答：

这道题目共有n!种配对情况，也就是相当于固定男运动员，然后对女运动员进行一次全排列，并求出对应的优势之和的最大值，本题可以用回溯法，也可以用分支限界法，在使用分支限界法的时候，关键是在于设计上界函数。

在这里，我们把上界函数定义为：剩下的未配对的女运动员（不考虑男运动员配对情况下）所能达到的优势最大值之和（记为r）与当前配对已达到的优势（记为sum）之和。在程序里体现如下：

在一开始时候，r被初始化为：

其中maxout的定义为：

在使用分支限界法的时候，一旦有一个叶节点出来，那么就立即结束算法，因为最先出来的叶节点必定是最优解。

代码实现：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<vector>
#include <cstdio>
usingnamespace std;
const int MAX = 20;
int          P[MAX][MAX];
int          Q[MAX][MAX];
int          maxout[MAX];
int          n;
structnode {int   id;int   sum;int   r;int   up;int   *x;
};
structcmp {bool operator()( node* a, node* b ){return(a->up < b->up);}
};
voidsolve()
{int                                      ans= 0;priority_queue<node*,vector<node*>, cmp>  que;node                                         *E = new node();E->id      =1;E->sum  =0;E->r       =0;E->up    =0;for ( int i = 1; i <= n; i++ ){E->r += maxout[i];}E->up    =E->r;E->x       =new int[n + 1];for ( int i = 1; i <= n; i++ ){E->x[i] = i;}while ( E->id != n + 1 ){for ( int i = E->id; i <= n;i++ ){node* nE = new node();nE->id    = E->id + 1;nE->x     = new int[n + 1];for ( int t = 1; t <= n;t++ ){nE->x[t] =E->x[t];}nE->x[E->id] = E->x[i];nE->x[i]  = E->x[E->id];nE->sum              = E->sum +P[E->id][nE->x[E->id]] * Q[nE->x[E->id]][E->id];nE->r            = E->r - maxout[E->id];nE->up         = nE->sum + nE->r;que.push( nE );}if ( !que.empty() ){E= que.top();que.pop();}else  {ans = 0;break;}}ans = E->sum;cout << ans << endl;
}intmain()
{cin >> n;for ( int i = 1; i <= n; i++ ){for ( int j = 1; j <= n; j++ ){cin >> P[i][j];}}for ( int i = 1; i <= n; i++ ){for ( int j = 1; j <= n; j++ ){cin >> Q[i][j];}}for ( int i = 1; i <= n; i++ ){int ma = 0;for ( int j = 1; j <= n; j++ ){ma = max( ma, Q[i][j] *P[j][i] );}maxout[i] = ma;}solve();return(0);
}/** 3* 10 2 3* 2 3 4* 3 4 5* 2 2 2* 3 5 3* 4 5 1*/

运行结果：