正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3317

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题目大意

$n$个点若干条边。告诉你每条边出现的概率，求刚好出现一颗生成树的概率是多少。

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解题思路

矩阵树定理是计算每个生成树的每条边乘积之和。

我们考虑将答案转换为那个形式，$a_{i,j}$表示$i->j$的边出现的概率，那么对于每棵生成树有答案
$$\prod _{x->y}{a}_{i,j}\ast \prod _{x-/>y}(1-a_{i,j})$$
也就是
$$\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^n(1-a_{i,j})\ast \prod _{x->y}\frac{a_{i,j}}{1-a_{i,j}}$$
所以我们先计算出所有的$1-a_{i,j}$的乘积，然后再将边权变为$\frac{a_{i,j}}{1-a_{i,j}}$用矩阵树计算即可。

时间复杂度$O(n^3)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=51;
const double eps=1e-8;
int n;
double a[N][N],ans;
void Gauss(){for(int i=1;i<n;i++){int mx=i;for(int j=i+1;j<n;j++)if(fabs(a[j][i])>fabs(a[mx][i]))mx=j;if(mx!=i)for(int j=1;j<n;j++)swap(a[i][j],a[mx][j]);for(int j=i+1;j<n;j++){double mul=a[j][i]/a[i][i];for(int k=i;k<n;k++)a[j][k]-=a[i][k]*mul;}if(fabs(a[i][i])<eps){ans=0;return;}}for(int i=1;i<n;i++)ans=ans*a[i][i];ans=fabs(ans);
}
int main()
{scanf("%d",&n);ans=1;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++){scanf("%lf",&a[i][j]);if(a[i][j]<eps) a[i][j]=eps;if(1-a[i][j]<eps) a[i][j]=1-eps;if(i<j) ans*=1-a[i][j];a[i][j]=a[i][j]/(1-a[i][j]);}for(int i=1;i<=n;i++){a[i][i]=0;for(int j=1;j<=n;j++)if(i!=j)a[i][i]-=a[i][j];}Gauss();printf("%.10lf",ans);
}