题解

这是一道纯粹的数学求导题目。
首先我们先写出要求的公式。
$ans={\sum }_{r=1}^n{C}_n^r{r}^k$
乍一看，雾草好吓人，但是学过高等数学且稍有常识的人（不是我）可以看出，这个可以由某个式子不断乘x并求导得出来。
没错，稍有常识的人又可以看出来了，这个式子就是$(1+x{)}^n$
$(1+x{)}^n={\sum }_{r=0}^n{C}_n^r{x}^r$
我们定义 $f_0=\frac{d}{dx}(1+x{)}^n=n(1+x{)}^{n-1}$
同时$f_0(x)={\sum }_{r=1}^n{C}_n^{r}r{x}^{r-1}$
定义$f_t(x)=\frac{d}{dx}(x{f}_{t-1}(x))$
这样的话$f_{k-1}(x)={\sum }_{r=1}^n{C}_n^r{r}^k$
那么我们要求的答案$ans=f_{k-1}^{(0)}(1)$
我们知道$f_t(x)=\frac{d}{dx}(x{f}_{t-1}(x))=f_{t-1}(x)+x{f}_{t-1}^{(1)}(x)$
通过这个操作，$f_t^{(p)}(1)=(p+1)f_{t-1}^{(p)}(1)+f_{t-1}^{(p+1)}(1)$
没错！这就是我们的递推公式！
定义$dp[i][j]=f_i^{(j)}(1)$
$dp[i][j]=(p+1)\ast dp[t-1][p]+dp[t-1][p+1]$
由于我们只需要$ans=dp[k-1][0]$，那么就只需要$dp[k-2][0...1]$,…,只需要$dp[0][0...k-1]$
状态数$O(K^2)$

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代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll N,k;
const ll mod = 1e9+7;
const int maxn = 5007;
ll dp[maxn][maxn],sum[maxn];
ll mod_pow(ll x,ll n){ll ans = 1;while(n){if(n&1)ans = ans * x % mod;x = x*x%mod;n >>= 1;}return ans;
}
int main(){cin>>N>>k;if(N == 1){return 0*printf("1\n");}ll pre = N;for(int t = 0;t < min(N,5005ll);++t){dp[0][t] = pre*mod_pow(2,N-1-t)%mod;pre = pre*(N-1-t)%mod;}for(int i = 1;i <= k;++i){for(int j = 0;j <= k;++j){dp[i][j] = ((j+1)*dp[i-1][j] + dp[i-1][j+1])%mod;}}printf("%lld\n",dp[k-1][0]);return 0;
}