参考博客：最小割浅谈

关于最小割

1. 常用描述
   表述一：删去若干条边使得源点到汇点不连通，求删边的权值和的最小可能值。
   表述二：将点集分为$(S,T)$，记所有从$S$中出发到$T$中的边的权值和为$c(S,T)$，求$c(S,T)$的最小值。

2. 求最小割
   a. 以权值为容量，该网络最大流的值即为最小割的值
   b. 在残量网络中，从源点出发进行一次增广BFS，即得到一个分割。该分割是一个最小割。

题型1：对求最小割原理的理解

[AHOI2009]最小割

[SDOI2014]LIS

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
#define re register
#define maxn 1505
#define LL long long
#define inf 999999999
inline int max(int a,int b){return a>b?a:b;}
inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
inline int read()
{char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
struct node{int a,b,c,rk;}g[maxn];
inline int cmp(node A,node B) {return A.c<B.c;}
struct E{int v,nxt,w,f;}e[maxn*maxn];
int n,num=1,S,T,Test;
int ans[maxn],cnt,id[maxn],vis[maxn];
int d[maxn],dp[maxn],head[maxn],cur[maxn],in[maxn],out[maxn];
inline void add(int x,int y,int z) {e[++num].v=y;e[num].nxt=head[x];head[x]=num;e[num].w=z;}
inline void C(int x,int y,int z) {add(x,y,z),add(y,x,0);}
inline int check(int s,int t)
{std::queue<int> q;memset(vis,0,sizeof(vis));q.push(s);vis[s]=1;while(!q.empty()){int k=q.front();q.pop();if(k==t) return 1;for(re int i=head[k];i;i=e[i].nxt)if(!vis[e[i].v]&&e[i].w>e[i].f) q.push(e[i].v),vis[e[i].v]=1;}return 0;
}
inline int BFS(int s,int t)
{std::queue<int> q;memcpy(cur,head,sizeof(head));memset(d,0,sizeof(d));d[s]=1,q.push(s);while(!q.empty()){int k=q.front();q.pop();for(re int i=head[k];i;i=e[i].nxt)if(!d[e[i].v]&&e[i].w>e[i].f) {d[e[i].v]=d[k]+1;if(e[i].v==t) return 1;q.push(e[i].v);}}return d[t];
}
int dfs(int x,int now,int t)
{if(x==t||!now) return now;int flow=0,ff;for(re int& i=cur[x];i;i=e[i].nxt)if(d[e[i].v]==d[x]+1){ff=dfs(e[i].v,min(now,e[i].w-e[i].f),t);if(ff<=0) continue;now-=ff,flow+=ff;e[i].f+=ff,e[i^1].f-=ff;if(!now) break;}return flow;
}
int main()
{Test=read();while(Test--){n=read();cnt=0;num=1;memset(head,0,sizeof(head));for(re int i=1;i<=n;i++) g[i].a=read(),dp[i]=1;for(re int i=1;i<=n;i++) g[i].b=read(),g[i].rk=i;for(re int i=1;i<=n;i++)for(re int j=1;j<i;j++) if(g[j].a<g[i].a) dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);int tot=0;for(re int i=1;i<=n;i++) tot=max(tot,dp[i]);//dp求LIS T=0;for(re int i=1;i<=n;i++) in[i]=++T;for(re int i=1;i<=n;i++) out[i]=++T;++T;for(re int i=1;i<=n;i++) C(in[i],out[i],g[i].b),id[i]=num;for(re int i=1;i<=n;i++) if(dp[i]==1) C(S,in[i],inf);for(re int i=1;i<=n;i++) if(dp[i]==tot) C(out[i],T,inf);for(re int i=1;i<=n;i++)for(re int j=1;j<i;j++) if(g[j].a<g[i].a&&dp[j]+1==dp[i]) C(out[j],in[i],inf);tot=0;while(BFS(S,T)) tot+=dfs(S,inf,T);//建图+跑最小割 for(re int i=1;i<=n;i++) g[i].c=read();printf("%d ",tot);std::sort(g+1,g+n+1,cmp);for(re int i=1;i<=n;i++){int k=g[i].rk;if(check(in[k],out[k])) continue;ans[++cnt]=k;while(BFS(T,out[k])) dfs(T,inf,out[k]);while(BFS(in[k],S)) dfs(in[k],inf,S);e[id[k]].w=e[id[k]^1].w=0;e[id[k]].f=e[id[k]^1].f=0;//退流，排除和当前所选边等价的边的影响 }printf("%d\n",cnt);std::sort(ans+1,ans+cnt+1);for(re int i=1;i<=cnt;i++) printf("%d ",ans[i]);putchar(10);}return 0;
}

题型2：最下生成树相关

例题这里有

题型3：对点的分割 转 对边的分割

[HNOI2013] 切糕

题型4：最小点割集

最小点割集是指：
给出一张有向图（无向图）和两个点S、T，每个点都有一个正数点权，求一个不包含点S、T的权值和最小的点集使得删掉点集中的所有点后，S无法到达T。

求法：
对于这个问题，我们将每一个点拆成两个点，一个为入点，一个为出点，这两个点之间有一条边权为原图中点权的有向边，从入点指向出点。对于原图中的边$x\to y$，我们将其更改为x的出点$\to y$的入点。在转化完的图上跑最小割就是原图的最小点割集。

题型5：最小割树——求任意两点的最小割

最小割树

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,node[505],dep[505],fa[505][10],mn[505][10];
int cnt,top[505],to[1005],len[1005],nex[1005];
int read()
{int re=0;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) ch=getchar();while(isdigit(ch)) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0',ch=getchar();return re;
}
void add_edge(int x,int y,int z)
{to[++cnt]=y,len[cnt]=z,nex[cnt]=top[x],top[x]=cnt;to[++cnt]=x,len[cnt]=z,nex[cnt]=top[y],top[y]=cnt;
}
namespace GHT
{int s,t;int tot,cur[505],dep[505],col[505],col_bucket[505];int cnt=1,top[505],to[3005],cap[3005],flow[3005],nex[3005];void add_edge(int x,int y,int z){to[++cnt]=y,cap[cnt]=z,flow[cnt]=0,nex[cnt]=top[x],top[x]=cnt;to[++cnt]=x,cap[cnt]=z,flow[cnt]=0,nex[cnt]=top[y],top[y]=cnt;//注意这里 }bool BFS(){memset(cur,0,sizeof cur);memset(dep,0,sizeof dep);dep[s]=1,cur[s]=top[s];queue<int>Q;Q.push(s);while(!Q.empty()){int now=Q.front();Q.pop();for(int i=top[now];i;i=nex[i])if(!dep[to[i]]&&cap[i]>flow[i]){dep[to[i]]=dep[now]+1;cur[to[i]]=top[to[i]];Q.push(to[i]);}}return dep[t]!=0;}int DFS(int now,int rest){if(now==t) return rest;int re=0;for(int &i=cur[now];i;i=nex[i])if(dep[to[i]]==dep[now]+1&&cap[i]>flow[i]){int lzq=DFS(to[i],min(rest,cap[i]-flow[i]));if(lzq){rest-=lzq,re+=lzq;flow[i]+=lzq,flow[i^1]-=lzq;//注意这里 if(!rest) break;}}return re;}int Dinic(int x,int y){int re=0;s=x,t=y;for(int i=1;i<=cnt;i++) flow[i]=0;while(BFS()) re+=DFS(s,0x3f3f3f3f);return re;}void get_color(int now,int color){col[now]=color;for(int i=top[now];i;i=nex[i])if(cap[i]>flow[i]&&col[to[i]]!=color)//注意这里 get_color(to[i],color);}void build(int l,int r){if(l==r) return ;int x=node[l],y=node[l+1];int cut=Dinic(x,y);get_color(x,++tot);int L=l,R=r;for(int i=l;i<=r;i++)if(col[node[i]]==tot) col_bucket[L++]=node[i];else col_bucket[R--]=node[i];for(int i=l;i<=r;i++) node[i]=col_bucket[i];::add_edge(x,y,cut);build(l,L-1);build(R+1,r);}
}
void dfs(int now)
{for(int i=1;i<=9;i++){fa[now][i]=fa[fa[now][i-1]][i-1];mn[now][i]=min(mn[now][i-1],mn[fa[now][i-1]][i-1]);}for(int i=top[now];i;i=nex[i]){if(to[i]==fa[now][0]) continue;dep[to[i]]=dep[now]+1,fa[to[i]][0]=now,mn[to[i]][0]=len[i];dfs(to[i]);}
}
int getcut(int x,int y)
{int re=INT_MAX;if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);for(int i=9;i>=0;i--) if(dep[fa[x][i]]>=dep[y]) re=min(re,mn[x][i]),x=fa[x][i];if(x==y) return re;for(int i=9;i>=0;i--) if(fa[x][i]!=fa[y][i]) re=min(re,min(mn[x][i],mn[y][i])),x=fa[x][i],y=fa[y][i];return min(re,min(mn[x][0],mn[y][0]));
}
int main()
{n=read(),m=read();while(m--){int x=read(),y=read(),z=read();GHT::add_edge(x,y,z);}for(int i=1;i<=n;i++) node[i]=i;GHT::build(1,n);dep[1]=1;dfs(1);m=read();while(m--){int x=read(),y=read();printf("%d\n",getcut(x,y));}return 0;
}

题型6：最大权闭合子图

闭合子图指的是，对于有向图，我们选择一些点，在这个点集之中，没有一个点的出边指向非此点集中的点，但是可以有其他点的出边指向这个点集之中。所说的最大权闭合子图，就是在这个图的所有闭合子图中点权和最大的。

求法：
建立源点，向每一个点权为正的点连边，边权为该点的权值。建立汇点，向每一个点权为负连边，边权为该点的权值的绝对值。原图中的边进行保留，边权为$inf$。最大权闭合子图就是所有的点权为正的点权和减去最小割。

题型7：划分点集

记$(u\to v,w)$为一条从$u$到$v$，权值为$w$的边。

基础模型

把$n$个点划分到两个集合$A,B$。给出若干形如 “若…，则有…的代价/贡献” 的条件。问最大贡献/最小代价是多少。

如果题目问的是最小代价，直接按下面方法连边求最小割。
如果题目问的是最大贡献，答案为$\sum 所有可能贡献-最小代价(最小割)$。

定义和$S$相连的点划到$A$集合，和$T$相连的点划到$B$集合，那么我们可以按下面的方法处理题目给出的条件：

1. 条件-表述1：若把$i$划到$A$，则要付出$b_i$的代价；若把$i$划到$B$，则要付出$a_i$的代价
   条件-表述2：若把$i$划到$B$，则有$b_i$的贡献；若把$i$划到$A$,则有$a_i$的贡献
   方案：$(i\to T,b_i)$,$(S\to i,a_i)$
2. 条件-表述1：若点集$X$中有元素划到$B$，则要付出$c$的代价
   条件-表述2：若点集$X$中元素全部划到$A$，则有$c$的贡献
   方案：$(S\to new,c),\forall i\in X(new\to i,inf)$
3. 条件-表述1：若点集$X$中有元素划到$A$，则要付出$d$的代价
   条件-表述2：若点集$X$中元素全部划到$B$，则有$d$的贡献
   方案：$\forall i\in X(i\to new,inf),(new\to T,d)$
4. 条件：若点集$X$中有元素划到$B$，点集$Y$中有元素划到$A$，则要付出$e$的代价
   常见形式：若点$i$划到$B$，点$j$划到$A$，则要付出$e$的代价
   方案：$\forall i\in X(new1\to i,inf)$,$\forall j\in Y(j\to new2,inf)$,$(new2\to new1,e)$
5. 条件：若点集$X$中有元素划到$A$，点集$Y$中有元素划到$B$，则要付出$f$的代价
   常见形式：若点$i$划到$A$，点$j$划到$B$，则要付出$f$的代价
   方案：$\forall i\in X(i\to new1,inf)$,$\forall j\in Y(new2\to j,inf)$,$(new1\to new2,f)$

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处理变形问题的trick：黑白染色，翻转源汇

对于“$x,y$必须划到不同集合” “$x,y$划到不同集合有$c$的贡献” “$x,y$划到相同集合有$d$的代价”这样的条件，我们可以连边$(x,y)$，黑白染色后$x,y$一定一个是黑点，一个是白点。

如果将其中一种颜色的点进行翻转源汇，即原本应该连向$S$的边连向$T$，原本应该连向$T$的边连向$S$，那么“$x,y$在不同集合”就变成了“$x,y$在相同集合”，“$x,y$在相同集合”就变成了“$x,y$在不同集合”

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