求斐波那切数列的几个方法：

经典做法：

众所周知：斐波那契数列的定义是f(n + 1) = f(n) + f(n - 1)
我们有两种方式来实现：一个是递归，一个是动态规划

递推：

int dfs(int n)
{if (n == 1)return 1;if (n == 2)return 2;return dfs01(n - 1) + dfs01(n - 2);
}

动态规划

int dfs03(int n)
{vec[maxn]vec[0] = 1;vec[1] = 2;int i;for (i = 2; i < n; i++){vec[i] = vec[i - 1] + vec[i - 2];}return vec[i-1];
}

矩阵快速幂

经典做法只要数一大就会超时，我们可以用矩阵快速幂进行优化，能将时间复杂度降到O(logN)
（如果全位输出斐波那契数，貌似最大能算法到93，但是如果带mod，那就可以算很大）
常用于求第n位斐波那契数的后x位（mod 10^x）

原理：

快速幂+矩阵
矩阵乘法：左矩阵的第一行乘以右矩阵的第一列（分别相乘），乘完后相加
单位矩阵： nn的矩阵 mat ( i , i )=1; 任何一个矩阵乘以单位矩阵就是它本身 n单位矩阵=n，可以把单位矩阵等价为整数1。（单位矩阵用在矩阵快速幂中）
在这里插入图片描述
在斐波那契数列中：
f[n ] = 1 * f[n-1] + 1 * f [n - 2]
f[n-1] =1 * f[n-1] +0 * f [n - 2]
我们用矩阵来表示：

这就表示了斐波那契数列如何用矩阵来实现。

代码：

#include <iostream>  
#include <cstddef>  
#include <cstring>  
#include <vector>  
using namespace std;  
typedef long long ll;  
const int mod=10000;  
typedef vector<ll> vec;  
typedef vector<vec> mat;  
mat mul(mat &a,mat &b) 
{  mat c(a.size(),vec(b[0].size()));  for(int i=0; i<2; i++)  {  for(int j=0; j<2; j++)  {  for(int k=0; k<2; k++)  {  c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];  c[i][j]%=mod;  }  }  }  return c;  
}  
mat pow(mat a,ll n)  
{  mat res(a.size(),vec(a.size()));  for(int i=0; i<a.size(); i++)  res[i][i]=1;//单位矩阵；  while(n)  {  if(n&1) res=mul(res,a);  a=mul(a,a);  n/=2;  }  return res;  
}  
ll solve(ll n)  
{  mat a(2,vec(2));  a[0][0]=1;  a[0][1]=1;  a[1][0]=1;  a[1][1]=0;  a=pow(a,n);  return a[0][1];//也可以是a[1][0];  
}  
int main()  
{  ll n;  while(cin>>n&&n!=-1)  {  cout<<solve(n)<<endl;  }  return 0;  
}

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1000000007;   
struct  matrix      //定义结构体矩阵
{ll x[2][2];
} ;
matrix  mul(matrix a,matrix b)     //矩阵乘法运算
{matrix ans;memset(ans.x,0,sizeof(ans.x));for(int i=0;i<2;i++)          //三个循环表示两个方阵相乘，可手动推写一遍{for(int j=0;j<2;j++){for(int k=0;k<2;k++){ans.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j];ans.x[i][j]%=mod;}}}return ans;
}
matrix quickpow(matrix p,ll n)    //矩阵快速幂，与快速幂道理方法相同
{matrix ans;for(int i=0;i<2;i++){for(int j=0;j<2;j++){if(i==j){ans.x[i][j]=1;}   //一开始初始化他为单位阵else ans.x[i][j]=0;}}while(n)//快速幂{if(n&1){ans=mul(ans,p);}p=mul(p,p);n>>=1;}return ans;
}
int main()
{matrix m;m={0,1,1,1};      ll n;cin>>n;ll ans1=0;matrix ans=quickpow(m,n-1);cout<<ans.x[1][1]<<endl;    return 0;  
}

例题：

POJ 3070

模拟过程

如果数很大，比如求1000的斐波那契数列，矩阵快速幂也求不出来,那咋办?
我们可以模拟斐波那契数列数列计算的过程，斐波那契数列的定义是f(n + 1) = f(n) + f(n - 1)，我们可以手写加减，模拟进行加减运算
例题大菲波数
H DU - 1715

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main(){int n,q,i,j,temp=0;cin>>q;while(q--){cin>>n;char a[10010]="1",b[10010]="1",c[10010]={0};for(i=0;i<n-2;i++){int len=max(strlen(a),strlen(b));for(j=0;j<len;j++){   //模拟加法temp=0;if(a[j]>='0'){    //短的数不加temp+=a[j]-'0';}if(b[j]>='0'){temp+=b[j]-'0';}if(temp>=10){      //判断进位if(c[j]>='0'){c[j]+=temp-10;}else{c[j]+=temp-10+'0';}c[j+1]=1+'0';}else{if(c[j]>='0'){if(temp==9){   //若前位进位了,而且加上的数字是9,那么还要进位!!!c[j]='0';c[j+1]='1';}else{c[j]+=temp;}}else{c[j]+=temp+'0';}}}strcpy(a, b);strcpy(b, c);memset(c, 0, sizeof(c));}int len=strlen(b);for(i=len-1;i>=0;i--){  //倒着输出printf("%c",b[i]);}printf("\n");}return 0;
}